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幾何学において、ヘルマン・モーガン記法は点群、平面群、空間群の対称要素を表すために用いられる。この記法は、ドイツの結晶学者カール・ヘルマン（1928年に導入）とフランスの鉱物学者シャルル＝ヴィクトル・モーガン（1931年に修正）にちなんで名付けられた。この記法は、1935年の初版以来、国際結晶学表の標準として採用されているため、国際記法と呼ばれることもある。
ヘルマン・モーガン記法は、シェーンフリース記法と比較して、並進対称要素を容易に含めることができ、対称軸の方向を指定できるため、結晶学で好まれています。 [ 1 ] [ 2 ]
回転軸は、n – 1、2、3、4、5、6、7、8、 ...の番号で表されます (回転角φ = 360 ° / n )。不適切な回転の場合、ヘルマン・モーガン記号は回転反転軸を示しますが、シェーンフリース記号やシュブニコフ記号は回転反射軸を示します。回転反転軸は、マクロン付きの対応する番号 n – 1、2、3、4、5、6、7、8、... で表されます。2 は鏡面と等価であり、通常はmと表記されます。鏡面の方向は、それに垂直な方向 (2軸の方向)として定義されます。
ヘルマン・モーガン記号は、非等価な軸と平面を対称的に表します。対称要素の方向は、ヘルマン・モーガン記号におけるその位置に対応します。回転軸 n と鏡面 m の方向が同じ場合、それらは分数 n / mまたはn / mで表されます。
2 つ以上の軸が同じ方向を向いている場合、対称性の高い軸が表示されます。対称性が高いということは、軸がより多くの点を持つパターンを生成することを意味します。たとえば、回転軸 3、4、5、6、7、8 は、それぞれ 3、4、5、6、7、8 点のパターンを生成します。不適切な回転軸 3、4、5、6、7、8 は、それぞれ6、4、10、6、14、8点のパターンを生成します。回転軸と回転反転軸が同じ数の点を生成する場合は、回転軸を選択する必要があります。たとえば、3 / mの組み合わせは6と同等です。6 は6 点を生成し、3 は 3 点しか生成しないので、 3 / m の代わりに6 と書く必要があります( 6 / m ではありません。6はすでに鏡面 m を含んでいるためです)。同様に、3 軸と3軸の両方が存在する場合は、3 と書く必要があります。ただし、 4 と4 の両方が 4 つの点を生成するため、 4 / m と書き、 4 / m とは書きません。2、3、6、3 、および6軸が存在する 6 / m の組み合わせの場合、右の図に示すように、軸3、6 、および6はすべて6点のパターンを生成しますが、後者は回転軸であるため使用する必要があります。記号は 6 / m になります。
最後に、ヘルマン・モーガン記号は群の種類によって決まります。
これらのグループには、2 回回転軸、鏡面、および/または反転中心のみが含まれる場合があります。これらは、結晶学的点群 1 および 1 (三斜晶系)、2、m、および 2 / m (単斜晶系)、222、2 / m 2 / m 2 / m、およびmm2 (斜方晶系)です。 ( 2 / m 2 / m 2 / mの略記はmmmです。)記号に3つの位置が含まれている場合、それぞれx、y、z方向の対称要素を表します。
これらは、結晶学的グループ 3、32、3m、3 、および3 2 / m（三方晶系）、4、422、4mm、4、4 2m 、4 / m、および4 / m 2 / m 2 / m （正方晶系）、および6、622、6mm、6、6 m2、6 / m、および6 / m 2 / m 2 / m （六方晶系）です。同様に、非結晶学的グループ（軸の次数が5、7、8、9、... ）の記号も作成できます。これらの群は、次の表のように配置できます（反転群（S 2または1と表記） 、2 回回転群（C 2または 2 と表記）、および反射群（C 1v、C 1hまたは m と表記）を追加して）。
奇数次の軸nとnを持つグループでは、記号の 3 番目の位置が常に存在しないことがわかります。これは、高次の軸に垂直なn の方向すべてが対称的に等価であるためです。たとえば、三角形の図では、3 つの鏡面 ( S 0、S 1、S 2 ) はすべて等価です。つまり、すべてが 1 つの頂点と反対側の辺の中心を通ります。偶数次の軸nとnの場合、n / 2個の二次方向とn / 2個の三次方向があります。たとえば、正六角形の図では、2 つの鏡面セットを区別できます。3 つの平面が 2 つの反対側の頂点を通り、他の 3 つの平面が反対側の辺の中心を通ります。この場合、2 つのセットのいずれかを二次方向として選択でき、残りのセットは三次方向になります。したがって、群4 2m、6 2m、8 2m、 ... は4 m2、6 m2、8 m2、...と書くことができます。点群の記号の場合、この順序は通常重要ではありませんが、対応する空間群のヘルマン・モーガン記号では重要になります。ヘルマン・モーガン記号では、二次方向は単位セルの並進bとcに沿った対称要素の方向であり、三次方向は単位セルの並進bとcの間の方向に対応します。たとえば、記号 P 6 m2 と P 6 2m は 2 つの異なる空間群を表します。これは、奇数次の軸 3 と3を持つ空間群の記号にも適用されます。垂直対称要素は、単位セルの並進bとcに沿って、またはそれらの間を移動できます。空間群 P321 と P312 は、それぞれ前者と後者の例です。
点群3 2 / m の記号は紛らわしいかもしれません。対応するシェーンフリース記号はD 3 dであり、これは群が 3 回軸、3 つの直交する 2 回軸、およびこれらの 2 回軸の間を通る 3 つの垂直な対角面から構成されていることを意味するため、群は 32m または 3m2 と表記できると思われます。しかし、シェーンフリース表記とは異なり、ヘルマン・モーガン記号の平面の方向は平面に垂直な方向として定義され、D 3 d群ではすべての鏡面が 2 回軸に垂直であるため、それらは 2 / m と同じ位置に記述する必要があることを覚えておく必要があります。次に、これらの 2 / m 複合体は反転中心を生成し、これが 3 回回転軸と組み合わさって3 回回転反転軸を生成します。
n = ∞の群は極限群またはキュリー群と呼ばれます。
これらは立方晶系の結晶群です。23、432、2 / m3、43m、および4 / m32 / mです。これらはすべて4つの対角3回軸を含んでいます。これらの軸は立方体内で3回軸として配置され、その4つの空間対角線に沿って方向付けられています（立方体は4/m32/m対称性を持っています）。これらの記号は次のように構成されます。
上記に示したヘルマン・モーガン記号はすべて完全記号と呼ばれます。多くの群では、n / mの位置にあるn回回転軸を省略することで簡略化できます。これは、回転軸が記号に示されている対称要素の組み合わせから明確に得られる場合に可能です。たとえば、2 / m 2 / m 2 / mの短縮記号はmmm 、4 / m 2 / m 2 / m 2 / mは4 / m mm 、4 / m 3 2 / mはm 3 mです。1つの高次軸を含む群では、この高次軸を省略することはできません。例えば、記号4 / m 2 / m 2 / mおよび6 / m 2 / m 2 / m 2 / m は、4 / mmm (または4 / m mm )および 6/mmm (または6 / m mm )に簡略化できますが、 mmmには簡略化できません。3 2 / mの略記号は3mです。32個の結晶点群すべての完全な記号と略記号は、結晶点群のページに記載されています。
5 つの立方体群の他に、2 つの非結晶学的二十面体群 (シェーンフリース表記ではIとI h ) と 2 つの極限群 (シェーンフリース表記ではKとK h ) があります。ヘルマン・モーガン記号は非結晶学的群用に設計されたものではないため、その記号はむしろ名目上のものであり、立方晶系の結晶学的群の記号との類似性に基づいています。[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]群I は235、25、532、53 と表記できます。I h の可能な短縮記号はm 35 、 m 5、m 5 m、53 m です。極限群Kの可能な記号は∞∞ または 2∞ であり、K hの可能な記号は∞ / m ∞または m ∞または ∞∞mです。
平面群はヘルマン・モーガン式を用いて表すことができます。最初の文字は、原始単位胞または中心単位胞を表す小文字のpまたはcです。次の数字は、前述のように回転対称性を表します。鏡面が存在する場合はm で表され、すべり反射のみの場合はgで表されます。2次元空間にはらせん軸は存在しません。
空間群の記号は、格子タイプを表す大文字と対称要素を指定する記号を組み合わせることによって定義されます。対称要素は、対応する点群（空間群からすべての並進成分を取り除いたときに得られる群）の記号と同じ順序で並べられます。空間群には、回転軸と鏡面に加えて、より複雑な対称要素、すなわちらせん軸（回転と並進の組み合わせ）とすべり面（鏡面反射と並進の組み合わせ）が含まれる場合があるため、対称要素の記号はより多様です。その結果、同じ点群に対して多くの異なる空間群が存在する可能性があります。例えば、異なる格子タイプとすべり面を選択することで、点群 mmm から Pmmm、Pnnn、Pccm、Pban、Cmcm、Ibam、Fmmm、Fddd など、28 種類の異なる空間群を生成できます。場合によっては、点群に単純に並進を加えるだけで空間群が生成されます。[ 8 ]それ以外の場合、点群が適用される点が存在しない。表でより詳しい情報を提供しない限り、表記はやや曖昧である。例えば、空間群 I23 と I2 1 3 (番号 197 と 199) はどちらも、2 回回転軸と 2 回らせん軸の両方を含んでいる。前者では、2 回軸は 3 回軸と交差するが、後者では交差しない。[ 9 ]
これらは3次元におけるブラベー格子の種類です。
ねじ軸は番号nで表され、回転角は 360° / n です。次に、平行格子ベクトルの 1/2 分の平行移動を示す添え字として、平行移動の度合いが追加されます。たとえば、2 1は 180° ( 2回) の回転に続いて格子ベクトルの 1/2 分の平行移動です。3 1は120 ° ( 3 回) の回転に続いて格子ベクトルの1/3分の平行移動です。
可能ならせん軸は、2 1、3 1、3 2、4 1、4 2、4 3、6 1、6 2、6 3、6 4、および 6 5です。 4 つの鏡像異性体軸のペアがあります: (3 1 – 3 2 )、(4 1 – 4 3 )、(6 1 – 6 5 )、および (6 2 – 6 4 )。 この鏡像異性体により、11 組の鏡像異性体空間群、すなわち、
すべり面の向きは、鏡面と同様に、ヘルマン・モーガン表記における記号の位置によって決まります。すべりがどの軸（方向）に沿っているかによって、 a、b、またはcで表されます。また、面の対角線の半分に沿ったすべりであるnすべりと、単位格子の面または空間対角線の4分の1に沿ったdすべりがあります。dすべりは、ダイヤモンド構造に見られることから、ダイヤモンドすべり面と呼ばれることがよくあります。a 、b、cの3つのうち2つが考えられる場合（例えば、aまたはb）、文字eが使用されます。（このような場合、センタリングを行うには両方のすべりが発生します。）まとめると次のようになります。
ヘルマン・モーガン記法では、二色対称性や磁気空間群理論で使用される時間反転を伴う操作はプライム記号（′）で表されます。たとえば、恒等操作と時間反転の組み合わせは1′と書き、鏡面反射と時間反転の組み合わせはm′と書き、n回回転軸と時間反転の組み合わせはn′と書きます（例：2′、4′など）。[ 10 ]
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