安定したグループ

モデル理論において、安定群は安定性理論の意味で安定している群である。重要な例として有限モーリーランクの群が挙げられる（下記参照）。

• 有限モーリーランクの群は抽象群 G であり 、式x  =  x はモデルGに対して有限モーリーランクを持ちます。定義から、有限モーリーランクの群の理論はω 安定であることが分かります。したがって、有限モーリーランクの群は安定群です。有限モーリーランクの群は、ある意味では有限次元オブジェクトのように動作します。有限モーリーランクの群と有限群の顕著な類似性は、活発な研究の対象となっています。
• すべての有限群は有限のモーリーランクを持ち、実際にはランクは 0 です。
• 代数的に閉体上の代数群は有限モーリーランクを持ち、これは代数集合としての次元に等しい。
• Sela (2006) は、自由群、およびより一般的には捩れのない 双曲群が安定であることを示した。複数の生成元を持つ自由群は超安定ではない。

グレゴリー・チャーリン (1979) とボリス・ジルバー (1977) によるチャーリン・ジルバー予想 (代数性予想とも呼ばれる) は、無限 (ω 安定)単純群は代数的に閉じた体上の単純代数群であることを示唆している。この予想はジルバーの三分法予想から導かれたものである。チャーリンはすべての ω 安定単純群に対してこの問題を提起したが、有限モーリー階数の群の場合ですら難しいようだと述べた。

この予想に向けた進歩は、有限単純群の分類に用いられる手法を転用するボロヴィクのプログラムに従っている。反例の考えられる発生源の 1 つは、悪い群である。悪い群とは、有限モーリーランクの解けない連結群で、その連結された適切な定義可能部分群のすべてが冪零である群である。(群は、それ自身以外に有限インデックスの定義可能部分群がない場合に連結群と呼ばれる。)

この予想にはいくつかの特殊なケースが証明されている。例えば、

• モーリー階数 1 の任意の連結群はアーベル群です。
• チャーリンは連結したランク 2 群が解けることを証明しました。
• チャーリンは、モーリー階数3の単純群は、Gが解釈する何らかの代数的に閉じた体Kに対して、不良群であるかPSL ₂ ( K )と同型であるかのいずれかであることを証明した。
• Tuna Altinel、Alexandre V. Borovik、Gregory Cherlin (2008) は、有限モーリーランクの無限群は、特性 2 の代数的に閉じた体上の代数群であるか、有限 2 ランクを持つことを示しました。

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