グロタンディークのトレース公式

代数幾何学において、グロタンディークの跡公式は、有限体上の多様体の点の数を、そのコホモロジー群上のフロベニウス自己準同型の跡によって表現する。いくつかの一般化があり、フロベニウス自己準同型はより一般的な自己準同型で置き換えることができ、その場合には有限体上の点はその不動点で置き換えられる。また、多様体上の層に対するより一般的なバージョンもあり、その場合にはコホモロジー群が層に係数を持つコホモロジーで置き換えられる。

グロタンディークのトレースの公式は、代数位相幾何学におけるレフシェッツの不動点定理の代数幾何学における類似物です。

グロタンディークのトレース公式の応用例の 1 つは、有限体上の多様体のゼータ関数、またはより一般的には層のL 級数を、コホモロジー群上のフロベニウスのトレースの和として表すことです。これは、ヴェイユ予想の証明で使用される手順の 1 つです。

ベーレンドのトレース公式は、この公式を代数スタックに一般化します。

k を有限体、l をkにおいて可逆な素数、Xをn 次元の滑らかな k スキーム、 X上に構成可能な-層とします。このとき、のL -関数に対する次のコホモロジー表現が成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}}$

ここで、F はどこでも、層のコンパクトなサポートを持つl進コホモロジー上の幾何学的フロベニウス作用です。両方の形式的冪級数の対数微分を取ると、基本体kの各有限体拡大Eのトレースの和に関するステートメントが生成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}$

定数層（l進層として適格と見なされる）の場合、この式の左辺はXのE点の数です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$${\displaystyle (\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otime \mathbb {Q} }$

• ドリーニュ、ピエール(1977)。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4 1/2)。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 569.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。土井：10.1007/BFb0091516。ISBN 978-3-540-08066-4。
• グロタンディーク、アレクサンダー(1977)。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5)。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 589.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。土井：10.1007/BFb0096802。ISBN 3-540-08248-4。
• フライタグ、エバーハルト。Kiehl、Reinhardt (1988)、Étale コホモロジーと Weil 予想、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 13、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-12175-6、MR  0926276