グリーン対策

数学、特に確率解析において、グリーン測度は伊藤拡散に関連付けられた測度です。グリーン測度と拡散の最初の出口時間に関して適切に滑らかな関数を表す関連するグリーン公式があります。この概念は英国の数学者ジョージ・グリーンにちなんで名付けられ、ディンキンの公式を使用して古典的なグリーン関数とグリーン公式を確率の場合に一般化したものです。

XをR ⁿ値の伊藤拡散関数とし、伊藤確率微分方程式が次の式 を満たすものとする。

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}.}$

P ^{x は}初期条件X ₀  =  xが与えられたときのXの法則を表し、E x^はP ^xに関する期待値を表すものとする。L _{X は}Xの無限小生成子、すなわち

${\displaystyle L_{X}=\sum _{i}b_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big )}_{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

D  ⊆  R ^{n を}開いた有界領域とし、XがDから最初に出る時刻をτ _Dとする。

${\displaystyle \tau_{D}:=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in D\}.}$

直感的には、ボレル集合Hのグリーン測度（点xと領域Dに関して）は、 Xがxから始まって領域D を離れるまでにHに留まる時間の期待値です。つまり、xにおけるDに関するXのグリーン測度G ( x , ⋅ )は、ボレル集合H  ⊆  R ⁿに対して次のよう に定義されます。

${\displaystyle G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

あるいは有界連続関数f  :  D  →  Rに対しては

${\displaystyle \int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}$

「グリーン測度」という名前は、Xがブラウン運動である場合、

${\displaystyle G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,}$

ここで、G ( x ,  y ) は演算子L _Xのグリーン関数です（ブラウン運動の場合、これは⁠1/2⁠ Δ （ Δ はラプラス演算子）を領域D上に作成します。

すべてのx  ∈  Dに対してE ^x [ τ _D ] < +∞であるとし、f ​​ :  R ⁿ  →  Rがコンパクトサポートを持つ滑らかさクラスC ²であるとします。

${\displaystyle f(x)=\mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}-\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

特に、Dにコンパクトに埋め込まれた台を持つC ²関数fに対して、

${\displaystyle f(x)=-\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

グリーンの公式の証明は、ディンキンの公式とグリーン測度の定義を簡単に応用したものです。

${\displaystyle \mathbf {E} ^{x}{\big [}f{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}{\big ]}}$

${\displaystyle =f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}L_{X}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}$

${\displaystyle =f(x)+\int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式: 応用入門(第 6 版). ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。 MR 2001996（第9項参照）