グノモンの定理

グノモンの定理は、グノモンに現れる特定の平行四辺形は等しい大きさの面積を持つと述べています。

対角線上に点がある平行四辺形において、を通るへの平行線はの辺およびの辺と交差します。同様に、を通るの平行線はの辺および の辺と交差します。すると、グノモンの定理によれば、平行四辺形と は面積が等しいことになります。^{[1] [2]}${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle P}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle AD}$${\displaystyle P}$${\displaystyle CD}$${\displaystyle G}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle H}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle P}$${\displaystyle AD}$${\displaystyle I}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle F}$${\displaystyle HBFP}$${\displaystyle IPGD}$

グノモンは、重なり合った2つの平行四辺形とで構成されるL字型の図形の名前です。面積が等しい平行四辺形とを補図形と呼びます（対角線と上の平行四辺形）。^[3]${\displaystyle ABFI}$${\displaystyle AHGD}$${\displaystyle HBFP}$${\displaystyle IPGD}$${\displaystyle PFCG}$${\displaystyle AHPI}$

主平行四辺形とその対角線の周りの 2 つの内側平行四辺形の面積を考えれば、定理の証明は簡単です。

• まず、主平行四辺形と 2 つの内側の平行四辺形との差は、2 つの補面積の合計面積と正確に等しくなります。
• 2番目に、これら3つすべてを対角線で二等分します。これにより次の式が得られます。^[4]

${\displaystyle |IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|}$

グノモンの定理は、定規とコンパスを使って、与えられた平行四辺形や長方形と面積が等しい新しい平行四辺形や長方形を作るのに使えます。また、2 つの数の割り算を幾何学的な用語で表現することも可能で、代数的な用語で幾何学の問題を再定式化するための重要な特徴です。より正確には、2 つの数が線分の長さとして与えられた場合、その 2 つの数の商に一致する長さの 3 番目の線分を作ることができます (図を参照)。もう 1 つの応用は、1 つの線分の分割比を別の線分 (異なる長さ) に転送し、別の線分を与えられた線分とその分割と同じ比率で分割することです (図を参照)。^[1]

3次元の平行六面体についても同様のことが言えます。この場合、平行六面体の空間対角線上に点があり、2本の平行線の代わりに、 を通る3つの平面があり、各平面は平行六面体の面に平行です。3つの平面は平行六面体を8つの小さな平行六面体に分割します。そのうち2つは対角線を取り囲み、 で交わります。対角線の周りの2つの平行六面体のそれぞれに、残りの6つの平行六面体のうち3つが接続されており、これら3つは補集合の役割を果たしており、体積が等しくなります（図を参照）。^[2]${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

グノモンの定理は、共通の対角線を持つ入れ子になった平行四辺形に関するより一般的なステートメントの特殊なケースです。与えられた平行四辺形に対して、同様に対角線を持つ任意の内側の平行四辺形を考えます。さらに、一意に決定される 2 つの平行四辺形があり、その辺は外側の平行四辺形の辺と平行で、内側の平行四辺形と頂点を共有しています。ここで、これら 2 つの平行四辺形の面積の差は、内側の平行四辺形の面積に等しくなります。つまり、次のようになります。^[2]${\displaystyle ABCD}$${\displaystyle AFCE}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle GFHD}$${\displaystyle IBJF}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle |AFCE|=|GFHD|-|IBJF|}$

この記述から、頂点がすべて対角線上にある退化した内側の平行四辺形を見ると、グノモンの定理が導き出されます。これは特に、平行四辺形 と の場合、それらの共通点は対角線上にあり、それらの面積の差はゼロであることを意味します。これは、グノモンの定理が述べていることとまったく同じです。 ${\displaystyle AFCE}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle GFHD}$${\displaystyle IBJF}$${\displaystyle F}$

グノモンの定理はユークリッドの『原論』 （紀元前300年頃）に早くから記述されており、他の定理の導出において重要な役割を果たしている。この定理は『原論』第1巻の命題43として与えられており、そこでは「グノモン」という用語を使用せずに平行四辺形に関する記述として表現されている。後者はユークリッドによって『原論』第2巻の2番目の定義として導入されている。グノモンとその特性が重要な役割を果たすその他の定理は、第2巻の命題6、第6巻の命題29、第13巻の命題1から4である。^{[5] [4] [6]}

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• ユークリッドの原論におけるグノモンの定理とグノモンの定義