ガウスの最小拘束の原理

カール・フリードリヒ・ガウス

ハインリヒ・ヘルツ

ガウスとヘルツは力学の変分原理を考案した。

最小拘束の原理は、1829年にカール・フリードリヒ・ガウスによって提唱された古典力学の変分定式化の一つであり、解析力学の他のすべての定式化と同等である。直感的に言えば、拘束された物理システムの加速度は、対応する拘束されていないシステムの加速度と可能な限り類似しているということである。^{[ 1 ]}

最小拘束の原理は、機械システムの真の加速度が最小二乗法の原理である。${\displaystyle n}$質量は量の最小値です

${\displaystyle Z\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\cdot \left|\,{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}-{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}\right|^{2}}$

j番目の粒子の質量は${\displaystyle m_{j}}$位置ベクトル${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$、非拘束力を適用${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$大衆に作用する。

表記法${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}$ベクトル関数の時間微分を示す$\displaystyle \mathbf {r} (t)$つまり位置。対応する加速度$\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{j}}$課せられた制約を満たす。これは一般的にシステムの現在の状態に依存する。${\displaystyle \{\mathbf {r} _{j}(t),{\dot {\mathbf {r} }}_{j}(t)\}}$。

活動的な${\displaystyle \mathbf {F} _{j}}$そして反応性（制約）${\displaystyle \mathbf {F_{c}} _{j}}$力が加えられ、結果として${\textstyle \mathbf {R} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {F} _{j}+\mathbf {F_{c}} _{j}}$システムは加速を経験する${\textstyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\mathbf {F} _{j}}{m_{j}}}+{\frac {\mathbf {F_{c}} _{j}}{m_{j}}}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {a} _{j}+\mathbf {a_{c}} _{j}}$。

ヘルツの最小曲率原理は、ガウスの原理の特殊な場合であり、外部から力が加えられていないこと、相互作用（通常はポテンシャルエネルギーとして表される）がないこと、およびすべての質量が等しいことという3つの条件によって制限される。一般性を失うことなく、質量は1に等しいとすることができる。これらの条件下では、ガウスの最小化量は次のように書ける。

${\displaystyle Z=\sum _{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

運動エネルギー${\displaystyle T}$これらの条件下でも保存される

${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}}$

線要素${\displaystyle ds^{2}}$で${\displaystyle 3N}$座標の次元空間が定義される

${\displaystyle ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}$

エネルギー保存の法則は次のように書くこともできます。

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T}$

分割する${\displaystyle Z}$による${\displaystyle 2T}$別の最小量が得られる

${\displaystyle K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{j}}{ds^{2}}}\right|^{2}}$

以来${\displaystyle {\sqrt {K}}}$は、軌道の局所的な曲率です。${\displaystyle 3n}$座標の次元空間、最小化${\displaystyle K}$これは、制約条件と整合する最小曲率の軌跡（測地線）を見つけることと同等です。

ヘルツの原理は、ヤコビの最小作用原理の定式化の特殊な場合でもある。

• アペルの運動方程式

• ガウス、CF (1829)。「Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik」。クレルの日記。1829 (4): 232–235 . doi : 10.1515/crll.1829.4.232。S2CID 199545985。 
• ガウス、カール・フリードリヒ。『作品集』第5巻、 23～ 28頁。  
• ヘルツ、ハインリッヒ（1896）。力学の原理。雑録。第 3巻。マクミラン。
• ランチョス、コーネリウス（ 1986）。「IV §8 ガウスの最小拘束原理」。力学の変分原理（トロント大学1970年第4 版の復刻版）。クーリエ・ドーバー。pp. 106–110。ISBN  978-0-486-65067-8。
• パパスタヴリディス、ジョン・G. (2014). 「6.6 ガウスの原理（詳細な解説）」.解析力学：拘束系力学に関する包括的な論文（再版 ）. シンガポール、ハッケンサック、ロンドン：ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング社. pp. 911–930 . ISBN  978-981-4338-71-4。

• ガウスの原理に関する現代的な議論と証明
• 数学百科事典におけるガウスの原理
• 数学百科事典におけるヘルツの原理