統計学では、 折り畳み t 分布と 半 t 分布は、変量の 絶対値を 取ることによって スチューデントの t 分布 から導き出されます。これは、 折り畳み正規分布 と 半正規 統計分布が 正規分布 から導き出されること に似ています 。
定義 折り畳み 非標準化 t 分布は、自由度を持つ非標準化 t 分布 の絶対値の分布であり 、その 確率密度関数は 次のように与えられる: [ 要出典 ]
ν
{\displaystyle \nu}
グ
（ x ）
=
Γ
（
ν + 1
2
）
Γ
（
ν 2
）
ν π
σ
2
{
[
1 +
1 ν
（
x − μ
）
2
σ
2
]
−
ν + 1
2
+
[
1 +
1 ν
（
x + μ
）
2
σ
2
]
−
ν + 1
2
}
（
のために
x ≥ 0 ）
{\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left\lbrace \left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}+\left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\right\rbrace \qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)}
。 半 t 分布は の特殊なケースとして結果し 、標準化バージョンは の特殊なケースとして 結果 します。
μ = 0
{\displaystyle \mu =0}
σ = 1
{\displaystyle \sigma =1}
ならば 、折畳み t 分布は半 t 分布の特別なケースに簡約される。その 確率密度関数は 次のように簡略化される。
μ = 0
{\displaystyle \mu =0}
グ
（ x ）
=
2 Γ
（
ν + 1
2
）
Γ
（
ν 2
）
ν π
σ
2
（
1 +
1 ν
x
2
σ
2
）
−
ν + 1
2
（
のために
x ≥ 0 ）
{\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {2\;\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)}
。 半 t 分布の最初の2つの モーメント （ 期待値 と 分散 ）は次のように与えられる： [1]
え [ バツ ] = 2 σ
ν π
Γ （
ν + 1
2
）
Γ （
ν 2
） （ ν − 1 ）
のために
ν > 1
{\displaystyle \operatorname {E} [X]\;=\;2\sigma {\sqrt {\frac {\nu }{\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1 }{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu -1)}}\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >1}
、 そして
ヴァール （ バツ ） =
σ
2
（
ν
ν − 2
−
4 ν
π （ ν − 1
）
2
（
Γ （
ν + 1
2
）
Γ （
ν 2
）
）
2
）
のために
ν > 2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\;=\;\sigma ^{2}\left({\frac {\nu }{\nu -2}}-{\frac {4\nu }{\ pi (\nu -1)^{2}}}\left({\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\right)^{2}\right)\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >2}
。
他の分布との関係 折り畳み t 分布 と半 t 分布は、有限 の自由度 を許容することで 折り畳み正規分布 と 半正規分布 を一般化します ( 正規 分布の類似物は、無限の自由度の極限ケースを構成します)。 コーシー分布は自由度が 1 の スチューデント t 分布 の特殊なケースを構成するため、折り畳み t 分布と半 t 分布 のファミリーには、 折り畳み コーシー分布 と 半コーシー分布 が含まれます。
ν = 1
{\displaystyle \nu =1}
参照
参考文献
^ Psarakis, S.; Panaretos, J. (1990)、「折り畳みt分布」、 Communications in Statistics - Theory and Methods 、 19 (7): 2717–2734、 doi :10.1080/03610929008830342、 S2CID 121332770
さらに読む Psarakis, S.; Panaretos, J. (1990). 「折り畳みt分布」. 統計におけるコミュニケーション - 理論と方法 . 19 (7): 2717–2734. doi :10.1080/03610929008830342. S2CID 121332770. Gelman, A. (2006). 「階層モデルにおける分散パラメータの事前分布」 ベイズ分析 . 1 (3): 515–534. doi : 10.1214/06-BA117A . Röver, C.; Bender, R.; Dias, S.; Schmid, CH; Schmidli, H.; Sturtz, S.; Weber, S.; Friede, T. (2021)、「ベイズランダム効果メタ分析における異質性パラメータの弱情報事前分布について」、 Research Synthesis Methods 、 12 (4): 448–474、 arXiv : 2007.08352 、 doi :10.1002/jrsm.1475、 PMID 33486828、 S2CID 220546288 Wiper, MP; Girón, FJ; Pewsey, Arthur (2008). 「半正規分布と半t分布の客観的ベイズ推定」. Communications in Statistics - Theory and Methods . 37 (20): 3165–3185. doi :10.1080/03610920802105184. S2CID 117937250. タンクレディ、A. (2002)。 「確率的フロンティアモデルにおける重い裾の説明」。ワーキングペーパー（7325）。パドヴァ大学。
外部リンク 半t 分布を評価する関数は、いくつかの R パッケージで利用可能です （例：[1] [2] [3]）。
![{\displaystyle g\left(x\right)\;=\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\nu \pi \sigma ^{2}}}}}\left\lbrace \left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}+\left[1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {\left(x+\mu \right)^{2}}{\sigma ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\right\rbrace \qquad ({\mbox{for}}\quad x\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3969c7a9bfa34141f24d77cd6c68f02adf0e1482)
![{\displaystyle \operatorname {E} [X]\;=\;2\sigma {\sqrt {\frac {\nu }{\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1 }{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})\,(\nu -1)}}\qquad {\mbox{for}}\quad \nu >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/577e911c13e68d900ddaf1d9478c84e5adcf41e4)
