フィッツヒュー・ナグモモデル

FitzHugh -Nagumo モデル( FHN ) は、興奮可能なシステム (ニューロンなど) のプロトタイプを記述します。

これは緩和振動子の例です。なぜなら、外部刺激が${\displaystyle I_{\text{ext}}}$特定の閾値を超えると、システムは位相空間で特徴的な変動を示し、変数が${\displaystyle v}$そして${\displaystyle w}$休息の価値を取り戻してリラックスしましょう。

この挙動は神経スパイク発生の概略図であり、膜電位の短時間かつ非線形な上昇を伴う。${\displaystyle v}$時間の経過とともに、より緩やかな線形回復変数によって減少する${\displaystyle w}$外部入力電流による刺激後のナトリウムチャネルの再活性化とカリウムチャネルの不活性化を表す。^{[ 1 ]}

この力学系の式は次のようになる。

${\displaystyle {\dot {v}}=v-{\frac {v^{3}}{3}}-w+RI_{\rm {ext}}}$

${\displaystyle \tau {\dot {w}}=v+a-bw.}$

フィッツヒュー・ナグモモデルは、スパイクニューロンの活性化と不活性化のダイナミクスを詳細にモデル化したホジキン・ハクスリーモデルの簡略化された2次元バージョンである。

一方、ファンデルポール発振器は、フィッツヒュー・ナグモモデルの特殊なケースであり、${\displaystyle a=b=0}$。

^{このシステムは、} 1961年にこのシステムを提案したリチャード・フィッツヒュー（1922年～2007年）^{[2]と、翌年}に等価回路を作成した南雲仁一ら^{[ 4 ]}にちなんで名付けられました。

フィッツヒューの原著論文では、このモデルはボンヘッファー・ファン・デル・ポール発振器（カール・フリードリヒ・ボンヘッファーとバルタザール・ファン・デル・ポールにちなんで命名）と呼ばれており、ファン・デル・ポール発振器を特殊なケースとして含んでいる。${\displaystyle a=b=0}$。等価回路は南雲仁一氏、有本卓氏、吉沢修司氏によって提案されました。^{[ 5 ]}

定性的に言えば、このシステムのダイナミクスは、3次ヌルクラインの3つの分岐と線形ヌルクラインの関係によって決定される。

立方ヌルクラインは次のように定義される。${\displaystyle {\dot {v}}=0\leftrightarrow w=vv^{3}/3+RI_{ext}}$。

線形ヌルクラインは次のように定義される。${\displaystyle {\dot {w}}=0\leftrightarrow w=(v+a)/b}$。

一般に、2つのヌルクラインは1つまたは3つの点で交差し、それぞれの点が平衡点である。${\displaystyle v^{2}+w^{2}}$原点から遠く離れると、流れは時計回りの円形の流れとなり、結果としてベクトル場全体のインデックスの合計は+1になります。これは、平衡点が1つある場合、それは時計回りの螺旋点または節点である必要があることを意味します。平衡点が3つある場合、それらは2つの時計回りの螺旋点と1つの鞍点である必要があります。

• 線形ヌルクラインが下から立方ヌルクラインを貫通する場合、それは時計回りの螺旋点、すなわちノードである。
• 線形ヌルクラインが中央の枝で上方から三次ヌルクラインを貫く場合、それは鞍点である。

インデックス+1のタイプと安定性は、そのヤコビ行列のトレースと行列式を計算することによって数値的に算出できる。$${\displaystyle (tr,\det )=(1-b/\tau -v^{2},(v^{2}-1)b/\tau +1/\tau )}$$トレースが負の場合に限り、その点は安定している。つまり、${\displaystyle v^{2}>1-b/\tau }$。

点が螺旋点であるのは、${\displaystyle 4\det -tr^{2}>0}$つまり、${\displaystyle (\tau v^{2}-b-\tau )^{2}<4\tau }$。

リミットサイクルは、安定な螺旋点がホップ分岐によって不安定になったときに発生する。^{[ 1 ]}

線形ヌルクラインが3点で立方ヌルクラインを貫通する場合に限り、システムは分離曲線を持ち、それは中央の鞍点の安定多様体の2つの枝となる。

• 分離線が曲線である場合、分離線の左側の軌道は左側のシンクに収束し、右側についても同様である。
• 分離曲線が左交点の周りのサイクルである場合、分離曲線内部の軌道は左螺旋点に収束します。分離曲線外部の軌道は右シンクに収束します。分離曲線自体は、中央の鞍点における安定多様体の下側枝の極限サイクルです。分離曲線が右交点の周りのサイクルである場合も同様です。
• この2つのケースの間で、システムはホモクリニック分岐を起こす。

ギャラリーの図：フィッツヒュー・ナグモモデル、${\displaystyle a=0.7,\tau =12.5,R=0.1}$、そして様々に${\displaystyle b,I_{ext}}$（これらはアニメーションです。開いてアニメーションをご覧ください。）

• 
  b = 0.8。ヌルクラインは常に一点で交差する。その点が3次ヌルクラインの中央の枝にある場合、リミットサイクルと不安定な時計回りの螺旋点が存在する。
• 
  b = 1.25。リミットサイクルは依然として存在するが、I_ext の区間はより小さくなる。中央に 3 つの交点がある場合、そのうち 2 つは不安定な螺旋であり、1 つは不安定な鞍点である。
• 
  b = 2.0。リミットサイクルは消滅し、代わりに2つの安定な固定点が得られる場合がある。
• 
  いつ${\displaystyle b=2,I_{ext}=3.5}$軌道を時間的に遡って解くことで、分離曲線と2つの吸引領域を容易に確認できる。
• 
  いつ${\displaystyle b=2.0}$、ホモクリニック分岐イベントは、${\displaystyle I_{ext}=5.393}$分岐前は、安定多様体はシンクに収束し、不安定多様体は無限遠へと逃避する。分岐後は、安定多様体は右側のシンクに収束し、不安定多様体は左側の螺旋点の周りのリミットサイクルに収束する。
• 
  ホモクリニック分岐後。${\displaystyle b=2.0,I_{ext}=5.45}$左側に安定な螺旋点が1つ、右側に安定なシンクが1つ存在する。不安定多様体の両方の枝はシンクに収束する。安定多様体の上側の枝は無限大に発散する。安定多様体の下側の枝は螺旋点の周りのサイクルに収束する。リミットサイクル自体は不安定である。

• Scholarpediaに掲載されているフィッツヒュー・ナグモモデル
• 対話型フィッツヒュー・ナグモ法。Javaアプレットで、位相空間を含み、パラメータはいつでも変更可能です。
• 1次元におけるインタラクティブなフィッツヒュー・ナグモ波動モデル。リング内を伝播する1次元波動をシミュレートするJavaアプレットです。パラメータはいつでも変更可能です。
• 2次元フィッツヒュー・ナグモ波動関数のインタラクティブ版。螺旋波を含む2次元波動をシミュレートするJavaアプレットです。パラメータはいつでも変更可能です。
• 2つのFHNシステムを結合するためのJavaアプレット。オプションには、時間遅延結合、自己フィードバック、ノイズ誘発変動、ファイルへのデータエクスポートが含まれます。ソースコードはBY-NC-SAライセンスで入手可能です。