楕円を見つける

『楕円の発見：ブラシュケ積、ポンスレの定理、数値範囲がお互いについて知っていること』は、「複素解析、幾何学、線型代数の間の驚くべきつながり」 ^[1]と、これら3つの分野すべての他の研究対象から楕円が生じる可能性のある関連した方法についての^{数学書です。 [2]}ウルリッヒ・デップ、パメラ・ゴーキン、アンドリュー・シェイファー、カール・フォスによって執筆され、2019年にアメリカ数学会とアメリカ数学協会によって、数学の技術的なトピックを幅広い読者に紹介することを目的とした一連の書籍であるカールス数学モノグラフの第34巻として^{出版されました。 [3]}

「楕円の探索」では、ブラシュケ積、ポンスレの閉包定理、行列の数値範囲の関係を研究します。^[1]

ブラシュケ積は、複素平面上の単位円板をそれ自身に写像し、円板内のいくつかの与えられた点を原点に写像する有理関数である。本書で検討されている主なケースでは、3つの異なる与えられた点、、があり、それらのブラシュケ積は式^{[2]で示される。}${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ $${\displaystyle B(z)=z\cdot {\frac {za}{1-{\bar {a}}z}}\cdot {\frac {zb}{1-{\bar {b}}z} }.}$$

この関数では、単位円上の各点には、やはり単位円上にある 3 つの原像があります。これらの原像の 3 つは単位円に内接する三角形を形成し、(結局のところ) すべて、とに焦点を持つ楕円に外接します。したがって、それらは 2 つの円錐曲線に内接し、円錐曲線に外接する無限の多角形システムを形成します。これは、ポンスレの定理が記述する種類のシステムとまったく同じです。この定理は、1 つの多角形が円錐曲線に内接し、別の円錐曲線に外接する場合は常に、いずれかの円錐曲線の各点を通る同じタイプの多角形の無限族の一部であると述べています。ブラシュケ積から構成される三角形の族は、これらのポンスレの定理の無限族の 1 つです。^{[1] [2]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

本書で取り上げる関係の 3 つ目の部分は、行列の数値範囲、つまり行列の固有値が存在する領域です。複素行列の場合、数値範囲は楕円であり、その結果は一般に楕円範囲定理と呼ばれ、固有値がその焦点となります。係数が 2 つの指定された点から導出され、それらの点が対角線上にある特定の行列の場合、この楕円はポンスレの定理の三角形で囲まれた楕円です。さらに、任意の行列の数値範囲は、そのユニタリ拡大の数値範囲の交点です。この場合、ユニタリ拡大は、それぞれがポンスレの定理の三角形の 1 つを数値範囲として持ち、三角形の 3 つの頂点を固有値として持つユニタリ行列です。 ^{[1] [3]}${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 3\times 3}$

『楕円の探索』は3つのパートに分かれています。第1部では、ブラシュケ積、ポンスレの閉包定理、数値範囲の数学を個別に展開し、それらの間の密接な関係を明らかにします。第2部では、これらの考え方を、楕円を一般化する対応する数値範囲に対する高次のブラシュケ積、より大きな行列、およびポンスレのような結果に一般化します。これらの一般化は、数学のより高度なトピック、「ルベーグ理論、ハーディ空間、関数解析、作用素理論など」につながります。^[1]第3部は、学生が本の説明を超えてこの資料を展開するためのプロジェクトと演習で構成されています。^[1]オンラインのWebアプレットコレクションにより、学生は本の構成を試すことができます。^{[1] [3]}

Finding Ellipsesは主に数学の上級学部生を対象としているが^[3]、講義の教科書というよりは学部生の研究プロジェクトの出発点として書かれている。^{[1] [2]}本書の前半では標準的な学部生向け数学のみを使用しているが、後半はより難易度が高く、評論家の Bill Satzer は「優秀な学生でさえ、この本を前後にめくり、関連性を見つけようとしながらイライラすることになるだろう」と書いている。 ^[1]それにもかかわらず、Line Baribeau は「明快で魅力的」であり、現代的なトピックを使用している点が魅力的だと書いている。^[3] Yunus Zeytuncu はさらに肯定的で、この分野の組み合わせを学部生が理解しやすいきちんとしたパッケージにまとめるという「夢を実現する」「喜び」と呼んでいる。^[2]