オイラー・丸山法

伊藤の微積分学において、オイラー・丸山法（単にオイラー法とも呼ばれる）は、確率微分方程式（SDE）の近似数値解法である。これは、レオンハルト・オイラーと丸山義郎にちなんで名付けられた、常微分方程式に対するオイラー法を確率微分方程式に拡張したものである。このような一般化は、任意の決定論的方法ではできない。^{[ 1 ]}

確率微分方程式（伊藤の微積分を参照）を考えてみよう。

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t},t)\,\mathrm {d} t+b(X_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},}$

初期条件X ₀  = x _{0 （} W _{t は}ウィーナー過程を表す）とし、この確率微分方程式を時間区間 [0, T ] で解きたいとします。このとき、真の解Xに対するオイラー・丸山近似は、次のように定義されるマルコフ連鎖Yです。  

• 区間[0, T ]を幅Nの等しい部分区間に分割する。 ${\displaystyle \Delta t>0}$:

${\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\cdots <\tau _{N}=T{\text{ および }}\Delta t=T/N;}$

• Y ₀  = x ₀と設定する 
• 0 ≤ n ≤ N-1に対してY _{n を}再帰的に定義する    

${\displaystyle \,Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta t+b(Y_{n},\tau _{n})\,\Delta W_{n},}$

どこ

${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}.}$

確率変数Δ W _{n は}、期待値がゼロで分散Δ tの独立同分布正規確率変数です。

他の近似法と同様に、オイラー・丸山スキームの精度は、基礎となる連続解との比較によって分析される。${\displaystyle X}$上の伊藤過程を表す${\displaystyle [0,T]}$等しい

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\mu (s,X_{s})ds+\int _{0}^{t}\sigma (s,X_{s})dW_{s}}$

その時${\displaystyle t\in [0,T]}$、 どこ${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \sigma }$それぞれ決定論的な「ドリフト」関数と「拡散」関数を表し、${\displaystyle W_{t}}$はウィーナー過程です。連続過程の離散近似は通常、それぞれの最終状態との比較によって評価されます。${\displaystyle T>0}$このような離散過程の自然な収束基準は

$\lim_{N\to\infty}\mathbb{E}\left[\left|{\hat{X}}_{N}-X_{T}\right|\right]=0.$

ここ、$\displaystyle {\hat {X}}_{N}}$離散プロセスの最終状態に対応する${\displaystyle {\hat {X}}}$これは近似値である${\displaystyle X_{T}}$取ることによって${\displaystyle N}$長さのステップ${\displaystyle \Delta t=T/N}$^{[ 2 ]} 上記の条件を満たす反復スキームは、連続プロセスに強く収束すると言われている。 ${\displaystyle X}$これは自動的に、それらが弱い収束基準を満たしていることを意味する。

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left|\mathbb {E} \left[g({\hat {X}}_{N})\right]-\left[g(X_{T})\right]\right|=0,}$

任意の有界かつ連続な関数に対して${\displaystyle g}$[ ^{3 ]} より具体的には、定数が存在する^場合${\displaystyle K}$そして${\displaystyle \gamma _{s},\delta _{0}>0}$そのため

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left|{\hat {X}}_{N}-X_{T}\right|\right]\leq K\delta _{0}^{\gamma _{s}}}$

いかなる場合でも${\displaystyle \delta \in (0,\delta _{0})}$近似は次数で強く収束する${\displaystyle \gamma _{s}}$連続プロセスへ${\displaystyle X}$; 同じく、${\displaystyle {\hat {X}}}$弱収束する${\displaystyle X}$注文と共に${\displaystyle \gamma _{w}}$期待値についても同じ不等式が成り立つ場合${\displaystyle g({\hat {X}}_{N})-g(X_{T})}$強い命令${\displaystyle \gamma _{s}}$収束は弱い順序を意味する${\displaystyle \gamma _{w}\geq \gamma _{s}}$^{収束性：これを例示すると、1972年に[ 4 ]} オイラー・丸山法は次数で強収束することが示された。 ${\displaystyle \gamma _{s}=1/2}$伊藤プロセス全般に適用可能${\displaystyle \mu ,\sigma }$に関してリプシッツ連続性と線形成長条件を満たす${\displaystyle x}$そして1974年には、オイラー・丸山スキームが次数で弱収束することが証明された。${\displaystyle \gamma _{w}=1}$伊藤プロセスは、同様のプロセスによって制御される。${\displaystyle \mu ,\sigma }$^{[ 5 ]} ただし 、 それらの導関数も同様の条件を満たすものとする。 ^{[ 6 ]}

解析する簡単な例として、幾何ブラウン運動があり、これはSDEを満たす。

${\displaystyle dX_{t}=\lambda X_{t}\,dt+\sigma X_{t}\,dW_{t}}$

固定の場合${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \sigma }$伊藤の補題を適用する${\displaystyle \ln X_{t}}$閉形式解が得られる

${\displaystyle X_{t}=X_{0}\exp \left(\left(\lambda -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$

オイラー・丸山法による離散化により、時間ステップの更新値が得られます。

${\displaystyle Y_{n+1}=\left(1+\lambda \Delta t+\sigma \Delta W_{n}\right)Y_{n}=Y_{0}\prod _{k=0}^{n}\left(1+\lambda \Delta t+\sigma \Delta W_{k}\right)}$

解析解における指数関数のテイラー級数展開を用いることで、時間ステップにおける正確な更新式を得ることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\tau _{k+1}}&=X_{\tau _{k}}\exp \left((\lambda -{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2})\Delta t+\sigma \Delta W_{k}\right)\\&=X_{\tau _{k}}\left[1+\lambda \Delta t+\sigma \Delta W_{k}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}\left((\Delta W_{k})^{2}-\Delta t\right)+O\left(\Delta t^{3/2}\right)\right]\\\end{aligned}}}$

解析解とオイラー・丸山解の間の局所誤差をそれぞれ合計すると、${\displaystyle N=T/\Delta t}$ステップは強力な誤差推定値を与える

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\,|X_{T}-Y_{N}|\,\right]=O\left({\sqrt {\Delta t}}\right)}$

強力な注文を確認する${\displaystyle 1/2}$収束。

考慮すべきもう1つの数値的な側面は安定性です。経路の2次モーメントは ${\displaystyle \mathbb {E} |X_{t}|^{2}\propto \exp \left((2\lambda +\sigma ^{2})t\right)}$溶液の長期的な減衰は、${\displaystyle 2\lambda +\sigma ^{2}<0}$オイラー・丸山方式は、以下の条件が満たされる場合に分散減衰を保持する。 ${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {-1}{\lambda ^{2}}}\left(2\lambda +\sigma ^{2}\right)}$。

確率微分方程式（SDE）の恩恵を大きく受けている分野の一つが数理生物学である。多くの生物学的プロセスは確率的かつ連続的な性質を持つため、SDEを数値的に解く手法はこの分野において非常に価値がある。