外サイクロイド

幾何学において、外転サイクロイド（ハイパーサイクロイドとも呼ばれる）^[1]は、固定された円の周りを滑ることなく回転する円（外転円と呼ばれる）の円周上の選択された点の軌跡をトレースすることによって生成される平面曲線です。これはルーレットの一種です。

短半径 (R2) が 0 の外転サイクロイドは円です。これは退化した形式です。

小さい円の半径が で、大きい円の半径が の場合、曲線の パラメトリック方程式は次のいずれかで表されます。${\displaystyle r}$${\displaystyle R=kr}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\\&y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)\end{aligned}}}$

または：

${\displaystyle {\begin{aligned}&x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\\&y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\end{aligned}}}$

これを複素数を使ってより簡潔に書くと^{[2]のようになる。}

${\displaystyle z(\theta )=r\left((k+1)e^{i\theta }-e^{i(k+1)\theta }\right)}$

どこ

• 角度${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$
• 小さい方の円の半径は であり、${\displaystyle r}$
• 大きい方の円の半径は です。${\displaystyle kr}$

（最初の点が大きな円上にあると仮定します。）が正の整数のとき、この外サイクロイドの 面積と弧の長さは${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle A=(k+1)(k+2)\pi r^{2},}$

${\displaystyle s=8(k+1)r.}$

これは、外転サイクロイドの面積が元の定常円よりも大きいことを意味します。 ${\displaystyle {\frac {(k+1)(k+2)}{k^{2}}}}$

が正の整数の場合、曲線は閉じており、k 個の尖点（つまり、鋭い角）を持ちます。 ${\displaystyle k}$

が有理数、つまり既約分数として表現される場合、曲線には尖点があります。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k=p/q}$${\displaystyle p}$

アニメーションの回転を数えてpとqを確認します

が無理数である場合、曲線は決して閉じることはなく、大きい円と半径 の円の間の空間の稠密な部分集合を形成します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle R+2r}$

原点から小円上の 点までの距離は、${\displaystyle {\overline {OP}}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle R\leq {\overline {OP}}\leq R+2r}$

どこ

• ${\displaystyle R}$= 大きな円の半径と
• ${\displaystyle 2r}$= 小さい円の直径。

• 外サイクロイドの例
• 
  k = 1 ;カーディオイド
• 
  k = 2 ;腎
• 
  k = 3 ;三葉形
• 
  k = 4 ;四つ葉形
• 
  ｋ＝２．１＝２１／１０
• 
  ｋ＝３．８＝１９／５
• 
  ｋ＝５．５＝１１／２
• 
  ｋ＝７．２＝３６／５

エピサイクロイドはエピトロコイドの特殊な種類です。

1 つの尖端を持つ周転円は心臓形であり、 2 つの尖端を持つ周転円は腎形です。

外転サイクロイドとその縮閉線は類似している。^[3]

の位置が解きたいものであり、は接線点から移動点までの角度であり、は開始点から接線点までの角度であると仮定します。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \theta }$

2つのサイクルの間にはずれがないので、

${\displaystyle \ell _{R}=\ell _{r}}$

角度の定義（弧の半径に対する割合）によれば、

${\displaystyle \ell _{R}=\theta R}$

そして

${\displaystyle \ell _{r}=\alpha r}$。

これら2つの条件から、次の式が得られます。

${\displaystyle \theta R=\alpha r}$。

計算すると、との関係は次のよう になります。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \alpha ={\frac {R}{r}}\theta }$。

図から、小さな円上の点の位置がはっきりとわかります。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

• 周期関数のリスト
• サイクロイド
• サイクロゴン
• 従円と周転円
• 遊星歯車装置
• 上皮小体
• ハイポサイクロイド
• 下転筋
• マルチブロットセット
• ルーレット（カーブ）
• スピログラフ

• J. デニス ローレンス (1972)。特殊平面曲線のカタログ。ドーバー出版。pp. 161, 168–170, 175。ISBN 978-0-486-60288-2。

• Weisstein、Eric W.「エピサイクロイド」。MathWorld。
• 「エピサイクロイド」マイケル・フォード著、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト、2007年
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「エピサイクロイド」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• エピサイクロイド、ペリサイクロイド、ハイポサイクロイドのアニメーション
• スピログラフ -- GeoFun
• 歯車の歯の形状への外サイクロイドの応用に関する歴史的注釈