カルノーサイクル

カルノーサイクルは、 1824年にフランスの物理学者サディ・カルノーによって提唱され、1830年代と1840年代に他の人々によって拡張された理想的な熱力学サイクルです。カルノーの定理により、カルノーサイクルは、熱を仕事に変換する際の古典的な熱力学エンジンの効率、または逆に、システムに仕事を適用して温度差を生み出す際の 冷凍システムの効率に上限を提供します。

カルノー サイクルでは、システムまたはエンジンが、温度が と の2 つの蓄熱体(それぞれ、高温蓄熱体と低温蓄熱体と呼ばれる) 間で熱の形でエネルギーを移動し、移動したエネルギーの一部がシステムによる仕事に変換されます。サイクルは可逆で、エントロピーは保存され、蓄熱体とシステムの間で単に移動するだけで、利得も損失もありません。システムに仕事が適用されると、熱は低温蓄熱体から高温蓄熱体に移動します (ヒート ポンプまたは冷凍)。熱が高温蓄熱体から低温蓄熱体に移動すると、システムは環境に仕事を適用します。カルノー サイクルごとにシステムまたはエンジンが環境に対して行う仕事は、蓄熱体の温度と、サイクルごとに高温蓄熱体からシステムに転送されるエントロピー ( ) によって決まります。ここで、 はサイクルごとに高温蓄熱体からシステムに転送される熱です。 ${\displaystyle T_{H}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle W=(T_{H}-T_{C})\Delta S=(T_{H}-T_{C}){\frac {Q_{H}}{T_{H}}}}$${\displaystyle Q_{H}}$

外部ビデオ
機械宇宙からのカルノーサイクル

カルノーサイクルは、カルノー熱機関によって実行される理想的な熱力学サイクルであり、次のステップで構成されます。

この場合、それは可逆的な熱力学サイクル（サイクルごとにシステムとその周囲に正味の変化がない）であるため^{[2] [1]} または、 $${\displaystyle \Delta S_{H}+\Delta S_{C}=\Delta S_{\text{cycle}}=0,}$$$${\displaystyle {\frac {Q_{H}}{T_{H}}}=-{\frac {Q_{C}}{T_{C}}}.}$$

これは、と が両方とも大きさが小さく、実際に と同じ比率であるため当てはまります。 ${\displaystyle Q_{C}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle Q_{H}/T_{H}}$

カルノー サイクルを圧力-体積線図(図 1 ) にプロットすると、等温段階は作動流体の等温線に沿って進み、断熱段階は等温線の間を移動し、サイクル経路全体によって囲まれた領域は 1 サイクル中に実行できる合計作業を表します。ポイント 1 から 2 まで、およびポイント 3 から 4 までの温度は一定です (等温過程)。ポイント 4 から 1 まで、およびポイント 2 から 3 までの熱伝達はゼロです (断熱過程)。

カルノーエンジンまたは冷凍機の動作は、温度-エントロピー図( T - S図) を使用すると最もよく理解できます。この図では、エントロピー( S ) を横軸、温度 ( T ) を縦軸とするグラフ上の点によって熱力学的状態が指定されます (図 2 )。単純な閉鎖系 (制御質量分析) の場合、グラフ上の任意の点はシステムの特定の状態を表します。熱力学的プロセスは、初期状態 (A) と最終状態 (B) を結ぶ曲線で表されます。曲線の下の領域は次のとおりです。

これは、プロセスで伝達される熱量です。プロセスによってシステムのエントロピーが増大する場合、曲線の下の領域はそのプロセスでシステムによって吸収される熱量です。そうでない場合は、システムから除去される熱量またはシステムから放出される熱量です。どの循環プロセスにも、サイクルの上部と下部があります。時計回りのサイクルのT - S図では、上部の下の領域はサイクル中にシステムによって吸収されるエネルギーになり、下部の下の領域はサイクル中にシステムから除去されるエネルギーになります。サイクル内の領域は、2 つの差 (吸収された正味の熱エネルギー) になりますが、システムの内部エネルギーは初期値に戻っているはずなので、この差はサイクルごとにシステムによって行われる仕事の量でなければなりません。図 1を参照すると、数学的には、可逆プロセスの場合、循環プロセスで行われる仕事の量を次のように表すことができます。

dU は正確な微分であるため、任意の閉ループでの積分はゼロであり、T – S図上のループ内の面積は、(a) ループが時計回り方向に移動する場合、システムが周囲に対して行う総仕事に等しく、(b) ループが反時計回り方向に移動する場合、周囲がシステムに対して行う総仕事に等しくなります。

上記の積分の評価はカルノーサイクルでは特に簡単です。仕事として伝達されるエネルギーの量は

$${\displaystyle W=\oint PdV=\oint TdS=(T_{H}-T_{C})(S_{B}-S_{A})}$$

高温の貯留層からシステムへ伝達される熱量の合計（等温膨張の場合）は 、システムから低温の貯留層へ伝達される熱量の合計（等温圧縮の場合）は、 $${\displaystyle Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})=T_{H}\Delta S_{H}}$$$${\displaystyle Q_{C}=T_{C}(S_{A}-S_{B})=T_{C}\Delta S_{C}<0}$$

エネルギー保存則により、伝達される正味の熱量は、実行される仕事量に等しい^[1]${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle W=Q=Q_{H}-Q_{C}}$$

効率は次のように定義されます。 ${\displaystyle \eta }$

どこ

• Wはシステムによって行われた仕事（仕事としてシステムから出るエネルギー）であり、
• ${\displaystyle Q_{C}}$> 0はシステムから奪われる熱（システムから出る熱エネルギー）であり、
• ${\displaystyle Q_{H}}$> 0はシステムに入る熱（システムに入る熱エネルギー）です。
• ${\displaystyle T_{C}}$は冷たい貯留層の絶対温度 であり、
• ${\displaystyle T_{H}}$高温貯留層の絶対温度です。
• ${\displaystyle S_{B}}$最大システムエントロピー
• ${\displaystyle S_{A}}$最小のシステムエントロピー

温度の式は、エントロピーの式から次のように導き出せます。なので、の最終式にはマイナス記号が現れます。 ${\displaystyle \eta =1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}}$${\displaystyle Q_{H}=T_{H}(S_{B}-S_{A})=T_{H}\Delta S_{H}}$${\displaystyle Q_{C}=T_{C}(S_{A}-S_{B})=T_{C}\Delta S_{C}<0}$${\displaystyle \Delta S_{C}=S_{A}-S_{B}=-\Delta S_{H}}$${\displaystyle \eta }$

これは、システムが行う作業と、サイクルごとにシステムが高温の貯蔵庫から受け取る熱エネルギーの割合として定義されるカルノー熱機関の作業効率です。この熱エネルギーがサイクルの開始点です。

説明したカルノー熱機関サイクルは完全に可逆なサイクルです。つまり、サイクルを構成するすべてのプロセスを逆転させることができ、その場合、カルノー熱ポンプと冷凍サイクルになります。今回は、熱と仕事の相互作用の方向が逆になることを除いて、サイクルはまったく同じままです。熱は低温のリザーバーから吸収され、熱は高温のリザーバーに排出され、これらすべてを達成するには仕事の入力が必要です。逆カルノーサイクルのP - V図は、プロセスの方向が逆になることを除いて、カルノー熱機関サイクルと同じです。^[3]

上の図から、温度と温度の間で動作するどのサイクルでも、カルノーサイクルの効率を超えることはできない ことがわかります。${\displaystyle T_{H}}$${\displaystyle T_{C}}$

カルノーの定理は、この事実を正式に述べたものです。2つの熱貯蔵庫の間で動作するエンジンは、同じ熱貯蔵庫の間で動作するカルノー エンジンよりも効率的ではありません。したがって、式3は、対応する温度を使用するすべてのエンジンで可能な最大効率を示します。カルノーの定理の帰結として、同じ熱貯蔵庫の間で動作するすべての可逆エンジンは、同じ効率であることがわかります。式の右辺を整理すると、より理解しやすい形式、つまり、熱エンジンの理論上の最大効率は、高温の貯蔵庫と低温の貯蔵庫の温度差を高温の貯蔵庫の絶対温度で割ったものに等しいという式が得られます。この式を見ると、興味深い事実が明らかになります。低温の貯蔵庫の温度を下げると、高温の貯蔵庫の温度を同じ量上げるよりも、熱エンジンの天井効率に大きな影響を与えます。現実の世界では、低温の貯蔵庫は既存の周囲温度であることが多いため、これを実現するのは難しい場合があります。

言い換えれば、エントロピーがサイクルごとに変化しない場合にのみ、最大効率が達成されます。サイクルごとにエントロピーが変化するのは次の場合です。たとえば、摩擦によって仕事が熱に消散するとします。その場合、サイクルは可逆的ではなく、クラウジウスの定理は等式ではなく不等式になります。そうでない場合、エントロピーは状態関数であるため、余分なエントロピーを処分するために環境に熱を放出する必要があるため、効率が（最小限に）低下します。したがって、式3 は、あらゆる可逆 熱機関の効率を示します。

メソスコピック熱機関では、一般に動作サイクルあたりの仕事は熱雑音により変動します。サイクルが準静的に実行される場合、変動はメソスケールでも消えます。^[4]しかし、サイクルが作動媒体の緩和時間よりも速く実行される場合、仕事の変動は避けられません。それでも、仕事と熱の変動を数えると、どの熱機関によって実行される仕事の指数平均と、より高温の熱浴からの熱伝達の間には正確な等式が成り立ちます。^[5]

カルノーは、実際には熱力学的に可逆なエンジンを作るのは不可能だと認識していました。そのため、実際の熱エンジンは、式3で示されるよりもさらに効率が低くなります。さらに、カルノー サイクル スタイル (等温膨張 / 等エントロピー膨張 / 等温圧縮 / 等エントロピー圧縮) に沿って動作する実際のエンジンはまれです。それでも、式3 は、特定の熱貯蔵庫セットで期待できる最大効率を決定するのに非常に役立ちます。

カルノーサイクルは理想化されていますが、カルノー効率の式3 は依然として有用です。最初の積分が 熱がシステムに入るサイクルの部分、2 番目の積分が熱がシステムから出るサイクルの部分である平均温度を考えます。次に、式3のT _HとT _{C を}それぞれ⟨ T _H ⟩ と ⟨ T _C ⟩ に置き換えて、熱機関の効率を推定します。 $${\displaystyle \langle T_{H}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{\text{in}}}TdS}$$ $${\displaystyle \langle T_{C}\rangle ={\frac {1}{\Delta S}}\int _{Q_{\text{out}}}TdS}$$

カルノーサイクルまたはそれと同等のサイクルでは、平均値 ⟨ T _H ⟩ は最高温度T _Hに等しく、 ⟨ T _C ⟩ は最低温度T _Cに等しくなります。その他の効率の低い熱力学サイクルでは、 ⟨ T _H ⟩ はT _Hよりも低く、 ⟨ T _C ⟩ はT _Cよりも高くなります。これは、たとえば、再熱器や再生器が蒸気発電所の熱効率を改善できる理由や、複合サイクル発電所 (さらに高温で動作するガスタービンを組み込んだもの) の熱効率が従来の蒸気発電所の熱効率を上回る理由を説明するのに役立ちます。ディーゼルエンジンの最初のプロトタイプは、カルノーサイクルの原理に基づいていました。

カルノー熱機関は、結局のところ、理想化された 熱力学システムに基づく理論的な構成です。実用的な人間規模のレベルでは、カルノーサイクルはディーゼルエンジンの開発を前進させるなど、貴重なモデルであることが証明されています。しかし、マクロスケールでは、モデルの仮定によって課せられた制限により、非実用的であり、最終的には何の作業も行えないことが証明されています。^[6]そのため、カルノーの定理によれば、カルノーエンジンは、実際に構築できるあらゆる実用的な装置ではなく、マクロスケールの熱機関の理論的限界と考えることができます。^[7]

• カルノー熱機関
• 可逆過程（熱力学）

注記

出典

• カルノー、サディ『火の原動力についての考察』
• ユーイング、JA（1910）蒸気機関とその他のエンジン第3版、62ページ、インターネットアーカイブ経由
• ファインマン、リチャード P.; レイトン、ロバート B.; サンズ、マシュー (1963)。『ファインマン物理学講義』。アディソン・ウェスレー出版。第 44 章。ISBN 978-0-201-02116-5。
• ハリデー、デイビッド、レズニック、ロバート (1978)。物理学(第 3 版)。ジョン ワイリー アンド サンズ。pp. 541–548。ISBN 978-0-471-02456-9。
• Kittel, Charles ; Kroemer, Herbert (1980)。熱物理学（第 2 版）。WH Freeman Company。ISBN 978-0-7167-1088-2。
• Kostic, M (2011). 「エネルギー劣化とエントロピー生成の第二法則の再考: サディ・カルノーの独創的な推論から全体論的一般化へ」AIP Conf. Proc . AIP Conference Proceedings. 1411 (1): 327–350. Bibcode :2011AIPC.1411..327K. CiteSeerX  10.1.1.405.1945 . doi :10.1063/1.3665247.アメリカ物理学会、2011年。ISBN 978-0-7354-0985-9 。概要は[1]を参照。全文（24ページ[2]）は[3]を参照。 

• カルノーサイクルに関する Hyperphysics の記事。
• Wolfram Mathematicaによる理想気体上の SM Blinder Carnot サイクル