可逆的かつ断熱的な熱力学的プロセス
等 エントロピー過程は、 断熱 かつ 可逆的な理想化された 熱力学過程 である 。 [1] [2] [3] [4] [ 5] [6] [ 引用過剰 ] システムの仕事の伝達は 摩擦 が なく 、 熱 または 物質 の正味の移動はない。このような理想化された過程は、実際の過程のモデルとして、また実際の過程との比較の基礎として工学において有用である。 [7] この過程が理想化されているのは、可逆過程は現実には起こらないからである。過程を断熱かつ可逆的であると考えると、初期エントロピーと最終エントロピーが同じであることが示され、これが等エントロピー（エントロピーが変化しない）と呼ばれる理由である。 熱力学 過程は、システムに与える影響に基づいて命名されている（例：等容：一定容積、等エンタルピー：一定エンタルピー）。現実には必ずしも等エントロピー過程を実行できるとは限らないが、そのように近似できるものもある。
「等エントロピー」という言葉は、システムのエントロピー が変化しないプロセスに由来しています 。また、このプロセスは断熱的かつ可逆的です。
背景 熱力学の第二法則 は [8] [9] 次のように
述べている。
T
surr
d
S
≥
δ
Q
,
{\displaystyle T_{\text{surr}}dS\geq \delta Q,}
ここで 、 は加熱によってシステムが得るエネルギー量、 は 周囲の 温度 、 はエントロピーの変化です。等号は 可逆過程 を表します。可逆過程 は、システムと周囲の温度が本質的に等しい、物理的現実では決して起こらない、想像上の理想的な理論的限界です。 [10] [11] 等 エントロピー過程の場合、可逆的であれば、 断熱過程 であるため、熱としてのエネルギーの移動はありません。δQ = 0。対照的に、過程が不可逆的であれば、システム内でエントロピーが生成されます。したがって、システム内のエントロピーを一定に保つには、同時にシステムから熱としてエネルギーを除去する必要があります。
δ
Q
{\displaystyle \delta Q}
T
surr
{\displaystyle T_{\text{surr}}}
d
S
{\displaystyle dS}
可逆プロセスの場合、等エントロピー変換は、システムを周囲から熱的に「絶縁」することによって実行されます。温度はエントロピーの熱力学的 共役変数であるため、共役プロセスは 等温プロセス となり 、システムは一定温度の熱浴に熱的に「接続」されます。
熱力学システムにおける等エントロピー過程 等エントロピー過程のT-s（エントロピー対温度）図。これは垂直線分である。 与えられた質量のエントロピーは、内部的に可逆かつ断熱的なプロセスの間は変化しません。エントロピーが一定に保たれるプロセスは等エントロピー過程と呼ばれ、 またはと表記されます 。 [12] 理論的に等エントロピーな熱力学デバイスの例としては、 ポンプ 、 ガス圧縮機 、 タービン 、 ノズル 、 ディフューザーなど があります。
Δ
s
=
0
{\displaystyle \Delta s=0}
s
1
=
s
2
{\displaystyle s_{1}=s_{2}}
熱力学システムにおける定常流装置の等エントロピー効率 ほとんどの定常流装置は断熱条件下で動作し、これらの装置にとって理想的なプロセスは等エントロピープロセスです。装置が対応する等エントロピー装置にどれだけ効率的に近似しているかを表すパラメータは、等エントロピー効率または断熱効率と呼ばれます。 [12]
タービンの等エントロピー効率:
η
t
=
actual turbine work
isentropic turbine work
=
W
a
W
s
≅
h
1
−
h
2
a
h
1
−
h
2
s
.
{\displaystyle \eta _{\text{t}}={\frac {\text{actual turbine work}}{\text{isentropic turbine work}}}={\frac {W_{a}}{W_{s}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}.}
コンプレッサーの等エントロピー効率:
η
c
=
isentropic compressor work
actual compressor work
=
W
s
W
a
≅
h
2
s
−
h
1
h
2
a
−
h
1
.
{\displaystyle \eta _{\text{c}}={\frac {\text{isentropic compressor work}}{\text{actual compressor work}}}={\frac {W_{s}}{W_{a}}}\cong {\frac {h_{2s}-h_{1}}{h_{2a}-h_{1}}}.}
ノズルの等エントロピー効率:
η
n
=
actual KE at nozzle exit
isentropic KE at nozzle exit
=
V
2
a
2
V
2
s
2
≅
h
1
−
h
2
a
h
1
−
h
2
s
.
{\displaystyle \eta _{\text{n}}={\frac {\text{actual KE at nozzle exit}}{\text{isentropic KE at nozzle exit}}}={\frac {V_{2a}^{2}}{V_{2s}^{2}}}\cong {\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2s}}}.}
上記のすべての方程式について:
h
1
{\displaystyle h_{1}}
入口状態での 比 エンタルピーである。
h
2
a
{\displaystyle h_{2a}}
実際のプロセスの出口状態での比エンタルピーである。
h
2
s
{\displaystyle h_{2s}}
等エントロピー過程の出口状態における比エンタルピーです。
熱力学サイクルにおける等エントロピー装置 注: 等エントロピーの仮定は、理想的なサイクルにのみ適用されます。実際のサイクルには、コンプレッサーとタービンの非効率性と熱力学の第二法則による固有の損失があります。実際のシステムは完全に等エントロピーではありませんが、等エントロピーの動作は多くの計算目的に適切な近似値です。
等エントロピー流 流体力学 では 、等 エントロピー流は断熱かつ可逆的な 流体の流れ です 。つまり、流れに熱が加わらず、 摩擦 や 散逸効果によるエネルギー変換も発生しません。 完全気体 の等エントロピー流の場合 、流線に沿った圧力、密度、温度を定義するためのいくつかの関係式を導き出すことができます。
熱交換として起こらない限り、等エントロピー変換で
エネルギーが流れと交換される 可能性があることに注意してください。このような交換の例としては、流れによってまたは流れに対して行われる作業を伴う等エントロピー膨張または圧縮があります。
等エントロピー流の場合、エントロピー密度は流線ごとに異なります。エントロピー密度がどこでも同じである場合、その流れは等 エントロピー であると言われます。
等エントロピー関係の導出 閉鎖系の場合、系のエネルギーの総変化は、行われた仕事と加えられた熱の合計です。
d
U
=
δ
W
+
δ
Q
.
{\displaystyle dU=\delta W+\delta Q.}
体積を変化させることによってシステムに対して行われる可逆的な仕事は
δ
W
=
−
p
d
V
,
{\displaystyle \delta W=-p\,dV,}
ここで は 圧力 、 は 体積 です。 エンタルピー の変化 ( ) は次のように表されます。
p
{\displaystyle p}
V
{\displaystyle V}
H
=
U
+
p
V
{\displaystyle H=U+pV}
d
H
=
d
U
+
p
d
V
+
V
d
p
.
{\displaystyle dH=dU+p\,dV+V\,dp.}
すると、可逆かつ断熱的な（つまり熱伝達が発生しない）プロセスの場合、 となり、 すべての可逆断熱プロセスは等エントロピーです。このことから、2 つの重要な観察結果が得られます。
δ
Q
rev
=
0
{\displaystyle \delta Q_{\text{rev}}=0}
d
S
=
δ
Q
rev
/
T
=
0
{\displaystyle dS=\delta Q_{\text{rev}}/T=0}
d
U
=
δ
W
+
δ
Q
=
−
p
d
V
+
0
,
{\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=-p\,dV+0,}
d
H
=
δ
W
+
δ
Q
+
p
d
V
+
V
d
p
=
−
p
d
V
+
0
+
p
d
V
+
V
d
p
=
V
d
p
.
{\displaystyle dH=\delta W+\delta Q+p\,dV+V\,dp=-p\,dV+0+p\,dV+V\,dp=V\,dp.}
次に、理想気体の等エントロピー過程について多くのことが計算できる。理想気体のあらゆる変化について、常に次のことが当てはまる。
d
U
=
n
C
v
d
T
{\displaystyle dU=nC_{v}\,dT}
、 そして
d
H
=
n
C
p
d
T
.
{\displaystyle dH=nC_{p}\,dT.}
およびについて 上で導出した一般的な結果を用いると 、
d
U
{\displaystyle dU}
d
H
{\displaystyle dH}
d
U
=
n
C
v
d
T
=
−
p
d
V
,
{\displaystyle dU=nC_{v}\,dT=-p\,dV,}
d
H
=
n
C
p
d
T
=
V
d
p
.
{\displaystyle dH=nC_{p}\,dT=V\,dp.}
したがって、理想気体の場合、 熱容量比は 次のように表される。
γ
=
C
p
C
V
=
−
d
p
/
p
d
V
/
V
.
{\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}=-{\frac {dp/p}{dV/V}}.}
熱量的に完全な気体の場合、 は一定です。したがって、熱量的に完全な気体を仮定して、上記の式を積分すると、次の式が得られます。
γ
{\displaystyle \gamma }
p
V
γ
=
constant
,
{\displaystyle pV^{\gamma }={\text{constant}},}
つまり、
p
2
p
1
=
(
V
1
V
2
)
γ
.
{\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }.}
理想気体の状態方程式 を 用いると 、
p
V
=
n
R
T
{\displaystyle pV=nRT}
T
V
γ
−
1
=
constant
.
{\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}.}
(証明: しかし、 nR = 定数そのものなので、 。)
P
V
γ
=
constant
⇒
P
V
V
γ
−
1
=
constant
⇒
n
R
T
V
γ
−
1
=
constant
.
{\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow PV\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}\Rightarrow nRT\,V^{\gamma -1}={\text{constant}}.}
T
V
γ
−
1
=
constant
{\displaystyle TV^{\gamma -1}={\text{constant}}}
p
γ
−
1
T
γ
=
constant
{\displaystyle {\frac {p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}}={\text{constant}}}
また、定数 （モル当たり）については、
C
p
=
C
v
+
R
{\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}
V
T
=
n
R
p
{\displaystyle {\frac {V}{T}}={\frac {nR}{p}}}
そして
p
=
n
R
T
V
{\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}}
S
2
−
S
1
=
n
C
p
ln
(
T
2
T
1
)
−
n
R
ln
(
p
2
p
1
)
{\displaystyle S_{2}-S_{1}=nC_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-nR\ln \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)}
S
2
−
S
1
n
=
C
p
ln
(
T
2
T
1
)
−
R
ln
(
T
2
V
1
T
1
V
2
)
=
C
v
ln
(
T
2
T
1
)
+
R
ln
(
V
2
V
1
)
{\displaystyle {\frac {S_{2}-S_{1}}{n}}=C_{p}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)-R\ln \left({\frac {T_{2}V_{1}}{T_{1}V_{2}}}\right)=C_{v}\ln \left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)+R\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}
したがって、理想気体の等エントロピー過程においては、
T
2
=
T
1
(
V
1
V
2
)
(
R
/
C
v
)
{\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{(R/C_{v})}}
または
V
2
=
V
1
(
T
1
T
2
)
(
C
v
/
R
)
{\displaystyle V_{2}=V_{1}\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{(C_{v}/R)}}
理想気体の等エントロピー関係表 由来
P
V
γ
=
constant
,
{\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}},}
P
V
=
m
R
s
T
,
{\displaystyle PV=mR_{s}T,}
P
=
ρ
R
s
T
,
{\displaystyle P=\rho R_{s}T,}
どこ：
P
{\displaystyle P}
= 圧力、
V
{\displaystyle V}
= ボリューム、
γ
{\displaystyle \gamma }
= 比熱比 = 、
C
p
/
C
v
{\displaystyle C_{p}/C_{v}}
T
{\displaystyle T}
= 温度、
m
{\displaystyle m}
= 質量、
R
s
{\displaystyle R_{s}}
= 特定のガスのガス定数 = 、
R
/
M
{\displaystyle R/M}
R
{\displaystyle R}
= 普遍気体定数、
M
{\displaystyle M}
= 特定のガスの分子量、
ρ
{\displaystyle \rho }
= 密度、
C
p
{\displaystyle C_{p}}
= 定圧比熱、
C
v
{\displaystyle C_{v}}
= 定積比熱。
参照
注記
^ パーティントン、JR （1949）、 物理化学の高度な論文 、第1巻、基本原理。気体の性質、ロンドン： ロングマンズ、グリーンアンドカンパニー 、p。122 。 ^ Kestin, J. (1966). A Course in Thermodynamics 、Blaisdell Publishing Company、Waltham MA、p. 196。 ^ Münster, A. (1970). 古典熱力学 、ES Halberstadt 訳、Wiley–Interscience、ロンドン、 ISBN 0-471-62430-6 、p. 13。 ^ Haase, R. (1971). Survey of Fundamental Laws, 熱力学 の第1章、第1巻の1～97ページ、W. Jost編、 物理化学上級論文集 、H. Eyring、D. Henderson、W. Jost編、Academic Press、ニューヨーク、lcn 73–117081、p. 71。 ^ Borgnakke, C.、Sonntag.、RE (2009)。 Fundamentals of Thermodynamics 、第 7 版、Wiley、 ISBN 978-0-470-04192-5 、p. 310. ^ Massey, BS (1970)、 「流体力学」 、セクション 12.2 (第 2 版)、Van Nostrand Reinhold Company、ロンドン。米国議会図書館カタログカード番号: 67-25005、p. 19。 ^ Çengel, YA, Boles, MA (2015). 熱力学: 工学的アプローチ 、第8版、McGraw-Hill、ニューヨーク、 ISBN 978-0-07-339817-4 、p. 340。 ^ モーティマー、RG 物理化学 、第3版、p.120、アカデミックプレス、2008年。 ^ Fermi, E. Thermodynamics 、p. 48の脚注、Dover Publications、1956年（現在も印刷中）。 ^ Guggenheim, EA (1985). 熱力学. 化学者と物理学者のための上級入門書 、第 7 版、北ホラント州、アムステルダム、 ISBN 0444869514 、p. 12: 「自然プロセスと非自然プロセスの限界例として、可逆プロセスがあります。これは、連続した一連の平衡状態をいずれかの方向に通過するプロセスです。可逆プロセスは実際には発生しません...」 ^ Kestin, J. (1966). A Course in Thermodynamics 、Blaisdell Publishing Company、Waltham MA、p. 127：「しかし、想像力を働かせれば、圧縮や膨張のプロセスは、必要に応じて「無限にゆっくりと」実行できる、または時々言われるように、準静的に実行できると認められました 。 」p. 130：「 すべての自然プロセスは不可逆であり 、可逆プロセスは都合の良い理想化にすぎないこと は明らかです。」 ^ ab Cengel, Yunus A.、Michaeul A. Boles。熱力学：工学的アプローチ。第7版。ニューヨーク：McGraw-Hill、2012年。印刷。
参考文献 Van Wylen, G. J. および Sonntag, R. E. (1965)、 「古典熱力学の基礎」 、John Wiley & Sons, Inc.、ニューヨーク。米国議会図書館カタログカード番号: 65-19470 
