ドゥーブ分解定理

離散時間における確率過程の理論（数学的確率論の一部）において、ドゥーブ分解定理は、適応可能かつ積分可能なすべての確率過程を、マルチンゲールとゼロから始まる予測可能な過程（または「ドリフト」）の和として一意に分解する。この定理はジョセフ・L・ドゥーブによって証明され、彼にちなんで名付けられた。^[1]

連続時間の場合の類似の定理は、ドゥーブ・マイヤー分解定理です。

を確率空間、I = {0, 1, 2, ..., N }とし、 または有限または可算無限のインデックス セット、のフィルタリング、およびX = ( X _n ) _{n ∈ I を}、 すべてのn ∈ Iに対してE[| X _n |] < ∞を満たす適応確率過程とします。このとき、マルチンゲールM = ( M _n ) _{n ∈ I}と、 A ₀ = 0から始まる積分可能で予測可能な過程A = ( A _n ) _{n ∈ I}が存在し、すべてのn ∈ Iに対してX _n = M _n + A _nが成り立ちます 。ここで予測可能とは、すべてのn ∈ I \ {0}に対してA _nが-測定可能であることを意味します。この分解はほぼ確実に一意です。^{[2] [3] [4]}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle I=\mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{n})_{n\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n-1}}$

この定理は、 d次元ユークリッド空間または複素ベクトル空間の値を取る確率過程Xに対しても、そのまま当てはまります。これは、1 次元バージョンから、成分を個別に考慮することによって得られます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

条件付き期待値を用いて、すべてのn∈Iに対して、プロセスAとMを明示的に 定義する。

そして

ここで、 n = 0の合計は空で、ゼロとして定義されます。ここで、A はXの期待される増分を合計し、M はサプライズ、つまり、 1 つのタイム ステップ前には知られていないすべてのX _kの一部を合計します。これらの定義により、プロセスXが適応されているため、 A _{n +1} ( n + 1 ∈ Iの場合) とM _nはF _n測定可能であり、プロセスX は積分可能であり、分解X _n = M _n + A _nがすべてのn ∈ Iに対して有効であるため、E [ | A _n |] < ∞およびE[| M _n |] < ∞です。マルチンゲール特性

${\displaystyle \mathbb {E} [M_{n}-M_{n-1}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=0}$    として

上記の定義( 2 )から、任意のn∈I \ {0}に対しても成り立つ。

一意性を証明するために、X = M ' + A 'を追加分解とします。すると、プロセスY  := M − M ' = A ' − Aはマルチンゲールとなり、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n-1}}$    として、

そして予測可能であり、

${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n}}$    として

任意のn ∈ I \ {0 }に対して成り立ちます。予測可能プロセスの開始点に関する慣例により、Y ₀ = A ' ₀ − A ₀ = 0であるため、これは反復的にすべてのn ∈ Iに対してY _n = 0 がほぼ確実に成り立つことを意味し、したがって分解はほぼ確実に一意です。

実数値確率過程Xがサブマルチンゲールとなるのは、マルチンゲールMとほぼ確実に増加する積分可能予測可能過程Aへの Doob 分解を持つ場合のみです。^[5] Aがほぼ確実に減少する場合に限り、スーパーマルチンゲールとなります。

Xがサブマルチンゲールであれば、

${\displaystyle \mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]\geq X_{k-1}}$    として

すべてのk∈I \{0}に対して、これはAの定義( 1 )のすべての項がほぼ確実に正であり、したがってAはほぼ確実に増加すると言っているのと同じである。スーパーマルチンゲールの同値性も同様に証明されている。

X = ( X _n ) _{n ∈ を${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$}独立で積分可能な実数値ランダム変数の列とする。これらは、列によって生成されるフィルタリングに適合する。すなわち、すべてのn ∈ に対してF _n = σ ( X ₀ , . . . , X _n )である。( 1 ) および ( 2 ) により、Doob分解は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

${\displaystyle A_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}]-X_{k-1}{\bigr )},\クワッド n\in \mathbb {N} _{0},}$

そして

${\displaystyle M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}]{\bigr ) },\quad n\in \mathbb {N} _{0}.}$

元系列Xのランダム変数の 平均がゼロの場合、これは次のように単純化される。

${\displaystyle A_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}}$    そして    ${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{n}X_{k},\quad n\in \mathbb {N} _{0},}$

したがって、両方のプロセスは（おそらく時間的に不均一な）ランダム ウォークです。シーケンスX = ( X _n ) _{n ∈ が${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$}+1と −1 の値を取る対称ランダム変数で構成されている場合、X は 有界ですが、マルチンゲール Mと予測可能プロセス Aは有界でない単純ランダム ウォーク（一様積分可能ではない）であり、停止時間に有限の期待値がない限り、 Doob のオプション停止定理はマルチンゲール Mに適用できない可能性があります。

数理ファイナンスでは、Doob の分解定理を使用して、アメリカン オプションの最大最適行使時間を決定することができます。[ ^{6] [7]} X = ( X ₀ , X ₁ , . . . , X _N )を、フィルタリング ( F ₀ , F ₁ , . . . , F _N )に適合させたN期間金融市場モデルにおけるアメリカン オプションの非負の割引ペイオフを表し、 を同等のマルチンゲール測度を表すものとします。U = ( U ₀ , U ₁ , . . . , U _N )を に関するXの スネル エンベロープを表すものとします。 スネル エンベロープはX を支配する最小の-スーパーマルチンゲールであり^[8]、完全な金融市場では、アメリカン オプションを満期までヘッジするために必要な最小限の資本を表します。^[9] U = M + Aは、スネル包絡線 UのマルチンゲールM = ( M ₀ , M ₁ , . . . , M _N )と減少予測可能プロセスA = ( A ₀ , A ₁ , . . . , A _N ) （ A ₀ = 0 ）への Doob 分解を表すものとする。この場合、アメリカンオプションを最適な方法で行使するための最大停止時間^{[10] [11]}は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \tau _{\text{max}}:={\begin{cases}N&{\text{if }}A_{N}=0,\\\min\{n\in \{0,\dots ,N-1\}\mid A_{n+1}}&{\text{if }}A_{N}}\end{cases}}$

A は予測可能なので、イベント { τ _max = n } = { A _n = 0, A _{n +1} < 0 } は、 n ∈ {0, 1, . . . , N − 1 }ごとにF _nに含まれます 。したがって、τ _{max は停止時間です。これは、アメリカン オプションの割引値が期待値で低下する前の最後の瞬間を示します。時間}τ _maxまで 、割引値プロセス U はに関してマルチンゲールです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ドゥーブ分解定理は確率空間からσ有限測度空間に一般化できる。^[12]

• ドゥーブ、ジョセフ L. (1953)、確率過程、ニューヨーク: ワイリー、ISBN 978-0-471-21813-5、MR  0058896、Zbl  0053.26802
• ドゥーブ、ジョセフ L. (1990)、確率過程(Wiley Classics Library ed.)、ニューヨーク: John Wiley & Sons, Inc.、ISBN 0-471-52369-0、MR  1038526、Zbl  0696.60003
• ダレット、リック（2010）、確率：理論と例、ケンブリッジ統計および確率数学シリーズ（第4版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-76539-8、MR  2722836、Zbl  1202.60001
• フォルマー、ハンス。 Schied, Alexander (2011)、Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time、De Gruyter 卒業生 (3. rev. and extend ed.)、ベルリン、ニューヨーク: De Gruyter、ISBN 978-3-11-021804-6、MR  2779313、Zbl  1213.91006
• ランバートン、ダミアン、ラペイル、バーナード（2008）、金融に応用される確率微積分入門、チャップマン＆ホール/CRC金融数学シリーズ（第2版）、フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC、ISBN 978-1-58488-626-6、MR  2362458、Zbl  1167.60001
• シリング、ルネ・L.（2005）、測度、積分、マルチンゲール、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-52185-015-5、MR  2200059、Zbl  1084.28001
• ウィリアムズ、デイビッド（1991）、マーチンゲール法による確率、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-40605-6、MR  1155402、Zbl  0722.60001