移動可能なセルオートマトン

移動可能なセルオートマトン法

2つの表面間の界面の摩擦をシミュレートするために使用されている可動セルオートマトンを示すアニメーション
方法の種類
連続/離散	離散
分析/計算	計算
特徴
影響を受けた	セルオートマトン、離散要素
方法	計算固体力学

可動セルオートマトン（MCA）法は、離散概念に基づく計算固体力学の手法です。この手法は、古典的なセルオートマトン法と離散要素法の両方の利点を備えています。MCA法の重要な利点の1つ^[1]は、損傷の生成、亀裂の伝播、断片化、質量混合など、材料の破壊を直接シミュレーションできることです。これらのプロセスを連続体力学法（たとえば、有限要素法、有限差分法など）でシミュレートすることは難しいため、ペリダイナミクスなどの新しい概念が必要です。離散要素法は粒状材料をシミュレートするのに非常に効果的ですが、可動セルオートマトン間の相互力により固体の挙動をシミュレートできます。オートマトンセルのサイズがゼロに近づくにつれて、MCAの挙動は古典的な連続体力学法に近づきます。^[2] MCA法は、SG Psakhieのグループで開発されました^[3]

MCAアプローチのフレームワークでは、モデリング対象のオブジェクトは相互作用する要素/オートマトンのセットとして考えられます。オートマトン セットのダイナミクスは、それらの相互の力と関係のルールによって定義されます。このシステムは時間と空間に存在し、動作します。時間と空間での進化は、運動方程式によって決まります。要素間の関係の相互の力とルールは、オートマトン応答の機能によって定義されます。この機能は、各オートマトンに対して指定する必要があります。オートマトンの移動性のため、セル オートマトンに関する次の新しいパラメーターを考慮する必要があります。R ^{i –オートマトン半径ベクトル。V i – オートマトン速度。ω i – オートマトンの回転速度。θ i –}オートマトンの回転ベクトル。m i –オートマトン質量。J i ^–オートマトン慣性モーメント ^。

MCA 法の新しい概念は、従来のオートマトンの状態 (個別のオートマトンの状態) に加えて、オートマトン ペアの状態(相互作用するオートマトン ペアの関係) を導入することに基づいています。この定義の導入により、静的ネットの概念から近傍の概念に移行できることに注意してください。この結果、オートマトンには、ペアの状態 (関係) を切り替えることで近傍を変更する機能があります。

新しいタイプの状態を導入すると、関係を切り替えるための基準として使用される新しいパラメータが生成されます。これは、パラメータh ^ijが重複するオートマトンとして定義されます 。したがって、セルオートマトンの関係は、それらの重複の値によって特徴付けられます。

初期構造は、隣接する要素の各ペア間に特定の関係を設定することによって形成されます。

従来のセルオートマトン法とは対照的に、MCA 法では、単一のオートマトンだけでなく、オートマトンペアの関係も切り替えることができます。双安定オートマトンの概念によれば、ペア状態 (関係) には 2 つのタイプがあります。

したがって、ペア関係の状態の変化はオートマトン間の相対的な動きによって制御され、そのようなペアによって形成される媒体は双安定媒体と見なすことができます。

MCA メディアの進化は、次の並進運動方程式によって記述されます。

${\displaystyle {d^{2}h^{ij} \over dt^{2}}=\left({1 \over m^{i}}+{1 \over m^{j}}\right) p^{ij}+\sum _{k\neq j}C(ij,ik)\psi (\alpha _{ij,ik}){1 \over m^{i}}p^{ik}+\和_{l\neq i}C(ij,jl)\psi (\alpha _{ij,jl}){1 \over m^{j}}p^{jl}}$

ここで、 はオートマトンの質量、はオートマトンとの間に作用する中心力、は h パラメータをijペアからikペアに転送する際に関連付けられる特定の係数、は方向ijとikの間の角度です。 ${\displaystyle m^{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p^{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle C(ij,ik)}$${\displaystyle \psi (\alpha _{ij,ik})}$

可動オートマトンのサイズは有限なので、回転の影響を考慮する必要があります。回転の運動方程式は次のように記述できます。

${\displaystyle {d^{2}\theta ^{ij} \over dt^{2}}=\left({q^{ij} \over J^{i}}+{q^{ji} \over J^{j}}\right)\tau ^{ij}+\sum _{k\neq j}S(ij,ik){q^{ik} \over J^{i}}\tau ^{ik }+\合計_{l\neq j}S(ij,jl){q^{jl} \over J^{j}}\tau ^{jl}}$

ここで、Θ ^ijは相対回転角度（平行移動の h ^ijのような切り替えパラメータ）、q ^{ijはオートマトン}iの中心からオートマトンjの接触点（モーメントアーム）までの距離、τ ^ijはペア接線相互作用であり、 Θ パラメータを 1 つのペアから別のペアに転送することに関連付けられた特定の係数です（平行移動の方程式 と同様です）。${\displaystyle S(ij,ik)}$${\displaystyle C(ij,ik)}$

これらの方程式は、多粒子アプローチの運動方程式と完全に類似しています。

ペアオートマトンの移動ijオートマトンペア の移動に対する無次元変形パラメータは次のように表すことができます。

${\displaystyle \varepsilon ^{ij}={h^{ij} \over r_{0}^{ij}}={\left(q^{ij}+q^{ji}\right)-\left(d^{i}+d^{j}\right){\big /}2 \over \left(d^{i}+d^{j}\right){\big /}2}}$

この場合：

${\displaystyle \left(\Delta {\varepsilon ^{i(j)}}+\Delta {\varepsilon ^{j(i)}}\right){\left(d^{i}+d^{j}\right) \over 2}=V_{n}^{ij}\Delta {t}}$

ここでΔtは時間ステップ、V _n ^ijは相対速度です。

ペアオートマトンの回転は、最後の変換関係からの類推によって計算できます。

ε ^ijパラメータは、オートマトンiとオートマトンjの相互作用による変形の尺度として使用されます^。ここで、q ^ij – はオートマトンiの中心からオートマトンjとの接触点までの距離です。R i = d ⁱ /2 ( d ⁱ – はオートマトンiのサイズです)。

例として、周期的な荷重（引張 - 圧縮）を受けるチタン試験片を考えます。荷重図を次の図に示します。

各オートマトンの移動性により、MCA メソッドでは次のようなアクションを直接考慮することができます。

• 大量混合
• 浸透効果
• 化学反応
• 強烈な変形
• 相転移
• 損害賠償の累積
• 断片化と破壊
• 亀裂の発生と発達

さまざまなタイプの境界条件 (固定、弾性、粘弾性など) を使用すると、シミュレートされたシステムを含む周囲の媒体のさまざまな特性を模倣できます。境界に追加の条件を設定することで、さまざまなモードの機械的負荷 (張力、圧縮、せん断ひずみなど) をモデル化できます。

• 連続体力学 – 連続媒体としてモデル化された物質の挙動を研究する物理学の分野
• 固体力学 – 固体材料とその挙動を扱う力学の分野
• 破壊力学 – 材料中の亀裂の伝播の研究
• ペリダイナミクス
• コンピュータシミュレーション – コンピュータ上で実行される数学的モデリングのプロセス
• 離散要素法 – 多数の小さな粒子の動きと効果を計算する数値的手法
• セルオートマトン – コンピュータサイエンスで研究される離散モデル
• 有限要素法 – 物理的または工学的問題を解くための数値的手法
• 差分法 – 数値解析手法のクラス

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• MCA ソフトウェア パッケージ
• 離散-連続アプローチによる材料シミュレーション用ソフトウェア「FEM+MCA」: アルゴリズムおよびソフトウェア応用研究財団 (AFAS) における国家登録番号: 50208802297 / Smolin AY、Zelepugin SA、Dobrynin SA。申請者および開発センターは Tomsk State University。 – 登録日 2008 年 11 月 28 日。証明書 AFAS N 11826 日付 2008 年 12 月 1 日。