コア（ゲーム理論）

協力ゲーム理論において、コアと は、エージェントのどの連合も全体連合から離脱することで利益を得ることができない、実現可能な配分または割り当ての集合を指します。コアは、すべてのエージェント間で協力を維持できる状況に対応するものと考えることができます。連合のメンバーが、元の配分で割り当てられた価値よりも多くの価値を互いに生み出すことができる場合、その連合は実現可能な配分を改善または阻止すると言われます。したがって、その連合は全体連合に留まるインセンティブを持ちません。

ある配分がゲームの中核にあるとは、それよりも優れた連合が存在しないことを意味する。この場合、中核とは、実現可能なすべての配分の集合である。

コアの概念は、エッジワース（1881）の著作に既に登場しており、当時は契約曲線と呼ばれていた。^{[ 1 ]}フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンはこれを興味深い概念と考えていたが、彼らはコアが常に空であるゼロサムゲームのみを扱っていた。コアの現代的な定義は、ドナルド・B・ギリーズとロイド・シャプレーによるものである。^{[ 2 ]}

譲渡可能な効用協力ゲームを考えてみよう${\displaystyle (N,v)}$どこ${\displaystyle N}$はプレイヤーの集合を表し、${\displaystyle v}$は特性関数です。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$別の推論によって支配されている${\displaystyle y}$連合が存在する場合${\displaystyle C}$、各プレイヤーが${\displaystyle C}$弱く好む${\displaystyle y}$（${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i\in C}$）そして存在する${\displaystyle i\in C}$厳密に優先する${\displaystyle y}$（${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$）、 そして${\displaystyle C}$強制できる${\displaystyle y}$大連立政権を離脱すると脅迫することで${\displaystyle C}$（${\displaystyle \sum _{i\in C}y_{i}\leq v(C)}$コアとは、他のどの補完によっても支配されない補完の集合である。^{[ 3 ]}

• 上記と同等の別の定義では、コアとはペイオフ配分の集合であると述べている。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$満足

1. 効率：${\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}$、
2. 連合の合理性：${\displaystyle \sum _{i\in C}x_{i}\geq v(C)}$すべてのサブセット（連合）について${\displaystyle C\subseteq N}$。

• コアは常に明確に定義されているが、空である場合もある。
• コアは、一連の弱い線形不等式を満たす集合である。したがって、コアは閉集合であり、凸集合である。
• ボンダレワ・シャプレーの定理：ゲームのコアが空でないのは、ゲームが「バランスが取れている」場合に限る。 ^{[ 5 ] [ 6 ]}
• すべてのワルラス均衡はコア特性を持つが、その逆は必ずしも成り立たない。エッジワース予想は、追加の仮定の下で、消費者の数が無限大に近づくときのコアの極限はワルラス均衡の集合であると述べている。
• n人のプレイヤーがいるとする（nは奇数とする）。少なくとも( n +1)/2人のメンバーからなる連合で1単位の財を分配することを提案するゲームは、コアが空である。つまり、安定した連合は存在しない。

一般均衡モデルにおける交換経済のワルラス均衡は、エージェント間の協力ゲームの中核に位置する。図式的に、2エージェント経済（エッジワース・ボックスを参照）では、中核は、初期保有量で定義された各エージェントの無差別曲線の間に位置する契約曲線（パレート最適配分の集合）上の点の集合である。

選択肢が配分（消費バンドルのリスト）である場合、空でない任意の部分集合の個人が特定の配分を阻止できると考えるのが自然である。しかし、選択肢が公共のもの（特定の公共財の量など）である場合は、十分な規模の連合のみが特定の選択肢を阻止できると考える方が適切である。このような大規模な（「勝利する」）連合の集合を単純ゲームと呼ぶ。選好プロファイルに関する単純ゲームの核心は、勝利する連合のみが選択肢を拒否できるという考えに基づいている。${\displaystyle x}$別の選択肢を支持する${\displaystyle y}$単純ゲームにおける中村数を用いて、あらゆる選好プロファイルに対してコアが空でないための必要十分条件が示される。

• 協調的な交渉
• 厚生経済学
• パレート効率性
• クナスター・クラトフスキ・マズルキェヴィチ・シャプレーの定理- コアが空でないことを証明する上で重要な役割を果たす。

• 市石達郎（1983）「協調行動と安定性」『経済分析のためのゲーム理論』ニューヨーク：アカデミック・プレス、77-117頁。ISBN  0-12-370180-5。
• オズボーン、マーティン・J.、ルービンシュタイン、アリエル（1994）。ゲーム理論入門。MIT出版。
• Peleg, B (1992). 「コアの公理化」. Aumann, Robert J. ; Hart, Sergiu (編) 『経済応用を伴うゲーム理論ハンドブック』第 1巻. アムステルダム: Elsevier. pp. 397–412 . ISBN  978-0-444-88098-7。
• ショハム、ヨアブ；レイトン＝ブラウン、ケビン（2009）。マルチエージェントシステム：アルゴリズム的、ゲーム理論的、論理的基礎。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-89943-7。
• Telser, Lester G. (1994). 「経済学におけるコア理論の有用性」 . Journal of Economic Perspectives . 8 (2): 151– 164. doi : 10.1257/jep.8.2.151 .