継続的な突風

連続突風または確率的突風は、空間と時間においてランダムに変化する風です。連続突風のモデルは、大気の乱気流、特に晴天乱気流と嵐の乱気流を表現するために使用されます。連邦航空局（FAA）と米国国防総省は、航空機の設計とシミュレーションに使用される連続突風のモデルの要件を提供しています。^{[1] [2]}

突風にはさまざまなモデルが存在するが^[3]、飛行力学アプリケーションで連続突風に一般的に使用されるのはドライデンモデルとフォン・カルマンモデルの2つだけだ。 ^{[2] [4]}これらのモデルは両方とも、乱流の長さスケールと強度によってパラメータ化された線形速度成分と角速度成分のパワースペクトル密度で突風を定義する。これらの連続突風モデルの速度成分は、風の乱れとして飛行機の運動方程式に組み込むことができる。^{[5]これらの連続突風モデルは}ホワイトノイズではないが、ドライデンモデルまたはフォン・カルマンモデルを使用して、ホワイトノイズ入力を受け取りランダムプロセスを出力するフィルターを設計することができる。^{[6] [7]}

FAAと国防総省が認めるモデルは、連続突風をランダムなプロセスである風の線速度と角速度の場として表現し、それを数学的に記述するためにいくつかの単純化された仮定を立てている。特に、連続突風は次のように仮定されている。^[8]

• ガウス過程
• 定常過程なので、統計は時間的に一定である。
• 均質なので、統計は車両の経路に依存しません。
• エルゴード
• 高高度では等方性なので、統計は車両の姿勢に依存しません。
• 空間は変化するが、時間は止まっている

これらの仮定は非現実的ではあるが、飛行力学の応用には許容できるモデルを生み出す。^[9]速度場が時間とともに変化しないという最後の仮定は特に非現実的である。なぜなら、空間のある地点における大気の乱流の測定値は常に時間とともに変化するからである。これらのモデルは、突風の中を飛行機が動くことに依存して風速の時間的変化を生成するため、ホバリング、風力タービン、または空間に固定された他の応用のモデルへの入力として使用するには不適切である。

モデルは、連続的な突風が高度によってどのように変化するかについても仮定しています。国防総省が規定したドライデンモデルとフォンカルマンモデルは、3つの異なる高度範囲を定義しています。低高度は10フィートから1000フィートAGL、中高度/高高度は2000フィートAGL以上、そしてその間です。乱気流の強さ、乱気流スケールの長さ、乱気流軸は高度によって異なります。^[10]国防総省は突風角速度のモデルも提供していますが、それらを省略できる場合の基準は飛行機の安定性導関数に基づいています。^[11]

ドライデンモデルは、連続突風の最も一般的に使用されるモデルの一つである。1952年に初めて発表された。^[12]縦方向線速度成分のパワースペクトル密度は、

${\displaystyle \Phi _{u_{g}}(\Omega )=\sigma _{u}^{2}{\frac {2L_{u}}{\pi }}{\frac {1}{1+ (L_{u}\オメガ )^{2}}}}$

ここでu _gは突風の縦方向線速度成分、σ _uは乱流強度、L _uは乱流スケール長、Ω は空間周波数である。^[2]

ドライデンモデルは、各速度成分に対して有理的なパワースペクトル密度を持っています。これは、ホワイトノイズを入力として受け取り、ドライデンモデルのパワースペクトル密度を持つランダムプロセスを出力する正確なフィルタを形成できることを意味します。^[6]

フォン・カルマンモデルは、国防総省とFAAが推奨する連続突風モデルである。^{[1] [2]}このモデルは、セオドア・フォン・カルマンによる初期の研究に基づいて、1957年のNACAレポート^[13]で初めて登場した。^{[14] [15] [16]}このモデルでは、縦方向の線速度成分のパワースペクトル密度は

${\displaystyle \Phi _{u_{g}}(\Omega )=\sigma _{u}^{2}{\frac {2L_{u}}{\pi }}{\frac {1}{\left(1+(1.339L_{u}\Omega )^{2}\right)^{\frac {5}{6}}}}}$

ここでu _gは縦方向の線速度成分、σ _uは乱流強度、L _uは乱流スケール長、Ω は空間周波数である。^[2]

フォン・カルマンモデルは無理数のパワースペクトル密度を持っています。そのため、フォン・カルマンモデルのパワースペクトル密度を持つランダムプロセスを出力するホワイトノイズ入力を持つフィルタは近似することしかできません。^[7]

ドライデンモデルとフォン・カルマンモデルはどちらも長さスケールと乱流強度によってパラメータ化されます。これら 2 つのパラメータの組み合わせによってパワースペクトル密度の形状が決まり、観測された乱流のスペクトルに対するモデルの適合度が決まります。長さスケールと乱流強度のさまざまな組み合わせにより、望ましい周波数範囲で現実的なパワースペクトル密度が得られます。^[4]国防総省の仕様には、高度への依存性など、両方のパラメータの選択肢が含まれており、以下にまとめられています。^[10]

低高度は、AGL 10 フィートから 1000 フィートまでの高度として定義されます。

低高度ではスケールの長さは高度の関数となり、

${\displaystyle 2L_{w}=h}$

${\displaystyle L_{u}=2L_{v}={\frac {h}{(0.177+0.000823h)^{1.2}}}}$

ここで、h はAGL 高度です。AGL 1000 フィートでは、L _u = 2 L _v = 2 L _w = 1000 フィートです。

低高度では、乱気流の強さは20 フィートでの風速 W _{20によってパラメータ化されます。}

${\displaystyle \sigma _{w}=0.1W_{20}}$

${\displaystyle {\frac {\sigma _{u}}{\sigma _{w}}}={\frac {\sigma _{v}}{\sigma _{w}}}={\frac {1}{(0.177+0.000823h)^{0.4}}}}$

地上1000フィートで、

${\displaystyle \sigma _{u}=\sigma _{v}=\sigma _{w}=0.1W_{20}}$

中高度/高高度は、AGL 2000 フィート以上と定義されます。

ドライデンモデルの場合、

${\displaystyle L_{u}=2L_{v}=2L_{w}=1750{\text{ft}}}$

フォン・カルマンモデルの場合、

${\displaystyle L_{u}=2L_{v}=2L_{w}=2500{\text{ft}}}$

高高度では、

${\displaystyle \sigma _{u}=\sigma _{v}=\sigma _{w}}$

これらは、超過確率または乱気流の激しさによってパラメータ化されます。軍事仕様では、乱気流の強度と高度の関係を示すグラフが提供されており、一定の超過確率の線と、さまざまな乱気流の激しさに対応する範囲が示されています。^[17]

1000フィートAGLから2000フィートAGLまでは、長さスケールと乱流強度は、1000フィートの低高度値と2000フィートの中/高高度値の間の線形補間によって決定されます。 ^{[6] [7]}

1750フィート以上では、乱流軸は風のフレーム軸と一致します。1750フィート以下では、垂直方向の乱流軸は地球フレームの z軸と一致し、縦方向の乱流軸は地球フレームの水平面への平均風ベクトルの投影と一致し、横方向の乱流軸は右手の法則によって決定されます。^[18]

• 晴天乱気流
• ドライデン風乱流モデル
• フォン・カルマン風乱流モデル