超過頻度

超過頻度は、年間超過率とも呼ばれ、ランダム プロセスが何らかの臨界値を超える頻度です。通常、臨界値は平均値から遠く離れています。通常、臨界値は境界外にあるランダム プロセスのピークの数で定義されます。これは、大地震や洪水などの極端な事象の予測に関連して応用されています。

超過頻度とは、確率過程が単位時間あたりに何らかの臨界値（通常は過程の平均から離れた臨界値）を超える回数である。 ^{[1]臨界値の超過を数えるには、臨界値を超える過程のピークを数えるか[1]}、臨界値のアップクロッシングを数えるかのいずれかの方法がある。アップクロッシングとは、過程の瞬間値が臨界値を正の傾きで横切るイベントである。^{[1] [2]}この記事では、超過を数える 2 つの方法が同等であり、過程には 1 回のアップクロッシングと 1 回のピークがあると仮定する。ただし、過程、特にパワー スペクトル密度に高周波数成分を持つ連続過程は、過程が平均に戻る前に、複数のアップクロッシングまたは複数のピークが連続して発生する可能性がある。^[3]

分散σ _y ²、パワースペクトル密度Φ _y ( f )を持つスカラー、ゼロ平均のガウス過程 y ( t )を考える。ここでfは周波数である。時間の経過とともに、このガウス過程は、ある臨界値 y max > 0 を超えるピークを持つ。y max の交差数を数えると、y max_の超過_頻度は次の_ように与えられる^{[1] [2]。}

${\displaystyle N(y_{\max})=N_{0}e^{-{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {y_{\max}}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}.}$

N _{0 は}0の交差頻度であり、パワースペクトル密度と次のように関係している。

${\displaystyle N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}}.}$

ガウス過程の場合、臨界値を超えるピークの数と臨界値の交差の数が同じであるという近似は、y _max /σ _y > 2および狭帯域ノイズに対して有効です。^[1]

f →∞のときにf ⁻³よりも緩やかに減少するパワースペクトル密度の場合、 N ₀の分子の積分は収束しません。Hoblitは、連続的な突風を対象としたアプリケーションで、このような場合にN ₀を近似する方法を示しています。^[4]

ランダム過程が時間とともに進むにつれて、臨界値y _maxを超えるピークの数が増え、それ自体が計数過程になります。ガウス過程を含む多くの種類の基礎となるランダム過程の分布では、臨界値が任意に大きくなるにつれて、臨界値y _{max を}超えるピークの数はポアソン過程に収束します。このポアソン過程の到着間隔は、超過頻度N ( y _max )に等しい減衰率で指数分布します。^[5]したがって、ピーク間の平均時間（滞留時間または最初のピークの前の平均時間を含む）は、超過頻度N ⁻¹ ( y _max )の逆数です。

y _maxを超えるピークの数がポアソン過程として増加する場合、時刻tでy _maxを超えるピークがまだ存在しない確率はe ^{− N ( y _max ) t}です。^[6]その補数、

${\displaystyle p_{ex}(t)=1-e^{-N(y_{\max})t},}$

は超過確率、つまり時刻tまでにymax_が少なくとも1回超過する確率である。^{[7] [8]}この確率は、構造物の寿命や操作の継続時間など、指定された期間中に極端なイベントが発生するかどうかを推定するのに役立ちます。

N ( y _max ) tが小さい場合、例えば、短期間に発生するまれなイベントの頻度の場合、

${\displaystyle p_{ex}(t)\approx N(y_{\max})t.}$

この仮定の下では、超過頻度は単位時間あたりの超過確率p ex _/ tに等しく、超過確率は超過頻度に指定された時間の長さを掛けるだけで計算できます。

• 大地震の発生確率^[9]
• 天気予報^[10]
• 水文学と水理構造物への荷重^[11]
• 航空機にかかる突風荷重^[12]

• 100年に一度の大洪水
• 累積頻度分析
• 極値理論
• ライスの公式

• ホブリット、フレデリック・M. (1988)。航空機の突風荷重：概念と応用。ワシントン DC：アメリカ航空宇宙学会、ISBN 0930403452。
• フェラー、ウィリアム(1968)。確率論とその応用入門。第 1 巻 (第 3 版)。ニューヨーク: John Wiley and Sons。ISBN 9780471257080。
• Leadbetter, MR; Lindgren, Georg; Rootzén, Holger (1983).ランダムシーケンスとプロセスの極値と関連特性ニューヨーク: Springer–Verlag. ISBN 9781461254515。
• Rice, SO (1945). 「ランダムノイズの数学的分析: パート III ランダムノイズ電流の統計的特性」. Bell System Technical Journal . 24 (1): 46–156. doi :10.1002/(ISSN)1538-7305c.
• Richardson, Johnhenri R.; Atkins, Ella M .; Kabamba, Pierre T.; Girard, Anouck R. (2014). 「確率的突風を飛行する際の安全余裕」.​​ Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 37 (6). AIAA: 2026–2030. doi :10.2514/1.G000299. hdl : 2027.42/140648 .