ドライデン風乱流モデル

ドライデン乱流モデルはドライデン突風とも呼ばれ、米国防総省が特定の航空機設計およびシミュレーションアプリケーションで使用するために承認した連続突風の数学的モデルです。 ^[1]ドライデンモデルは、連続突風の線形速度成分と角速度成分を空間的に変化する確率過程として扱い、各成分のパワースペクトル密度を指定します。ドライデン乱流モデルは有理パワースペクトル密度を特徴とするため、ホワイトノイズ入力を受け取り、ドライデン突風のパワースペクトル密度を持つ確率過程を出力する正確なフィルターを設計できます。

ドライデンモデルはヒュー・ドライデンにちなんで名付けられ、最も一般的に使用されている突風のモデルの一つである。このモデルは1952年に初めて発表された。^[2]

ドライデンモデルは、突風の3つの線速度成分（u _g、v _g、w _g）のパワースペクトル密度によって特徴付けられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{u_{g}}(\Omega )&=\sigma _{u}^{2}{\frac {2L_{u}}{\pi }}{\frac {1}{1+(L_{u}\Omega )^{2}}}\\\Phi _{v_{g}}(\Omega )&=\sigma _{v}^{2}{\frac {2L_{v}}{\pi }}{\frac {1+12(L_{v}\Omega )^{2}}{\left(1+4(L_{v}\Omega )^{2}\right)^{2}}}\\\Phi _{w_{g}}(\Omega )&=\sigma _{w}^{2}{\frac {2L_{w}}{\pi }}{\frac {1+12(L_{w}\Omega )^{2}}{\left(1+4(L_{w}\Omega )^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

ここで、σ _iとL _iはそれぞれi番目の速度成分の乱流の RMS 速度と長さスケールであり、Ωは空間周波数です。^{[1]これらのパワースペクトル密度は確率過程の空間的変化を与えますが、時間的変化は突風速度場を通る車両の動きに依存します。車両が突風場}V を通過する速度によって、これらのパワースペクトル密度を異なるタイプの周波数に変換できます。^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\omega }{V}}\\\Phi _{i}(\Omega )&=V\Phi _{i}\left({\frac {\omega }{V}}\right)\end{aligned}}}$

ここで、ω の単位は単位時間あたりのラジアンです。

突風角速度成分（p _g、q _g、r _g）は、異なる車両軸に沿った線速度成分の変化として定義されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial y}}\\q_{g}&={\frac {\partial w_{g}}{\partial x}}\\r_{g}&=-{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}\end{aligned}}}$

ただし、いくつかの情報源では異なる符号規則が使用される場合がある。角速度成分のパワースペクトル密度は^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{p_{g}}(\omega )&={\frac {\sigma _{w}^{2}}{2VL_{w}}}{\frac {0.8\left({\frac {2\pi L_{w}}{4b}}\right)^{\frac {1}{3}}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\\\Phi _{q_{g}}(\omega )&={\frac {\pm \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {4b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{w_{g}}(\omega )\\\Phi _{r_{g}}(\omega )&={\frac {\mp \left({\frac {\omega }{V}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {3b\omega }{\pi V}}\right)^{2}}}\Phi _{v_{g}}(\omega )\end{aligned}}}$

軍の規格では、突風角速度成分が重要であるかどうかを判断するために、車両の安定性微分に基づく基準が示されています。 ^[5]

ドライデンモデルによって生成される突風は白色雑音プロセスではないため、有色雑音と呼ばれることがあります。有色雑音は、状況によっては、スペクトル分解と呼ばれるプロセスを通じて最小位相 線形フィルタの出力として生成されることがあります。単位分散、伝達関数G ( s )、出力y ( t ) を持つ白色雑音入力を持つ線形時間不変システムを考えてみましょう。y ( t ) のパワースペクトル密度は

${\displaystyle \Phi _{y}(\omega )=|G(i\omega )|^{2}}$

ここで、i ² = -1 である。ドライデンモデルのような有理的なパワースペクトル密度の場合、虚軸に沿って評価された大きさの2乗がパワースペクトル密度である適切な伝達関数が見つかる。MATLABドキュメントには、軍事仕様と一致するドライデン突風の伝達関数の実現方法が記載されている。^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{u_{g}}(s)&=\sigma _{u}{\sqrt {\frac {2L_{u}}{\pi V}}}{\frac {1}{1+{\frac {L_{u}}{V}}s}}\\G_{v_{g}}(s)&=\sigma _{v}{\sqrt {\frac {2L_{v}}{\pi V}}}{\frac {1+{\frac {2{\sqrt {3}}L_{v}}{V}}s}{\left(1+{\frac {2L_{v}}{V}}s\right)^{2}}}\\G_{w_{g}}(s)&=\sigma _{w}{\sqrt {\frac {2L_{w}}{\pi V}}}{\frac {1+{\frac {2{\sqrt {3}}L_{w}}{V}}s}{\left(1+{\frac {2L_{w}}{V}}s\right)^{2}}}\\G_{p_{g}}(s)&=\sigma _{w}{\sqrt {\frac {0.8}{V}}}{\frac {\left({\frac {\pi }{4b}}\right)^{\frac {1}{6}}}{(2L_{w})^{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {4b}{\pi V}}s\right)}}\\G_{q_{g}}(s)&={\frac {\pm {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {4b}{\pi V}}s}}G_{w_{g}}(s)\\G_{r_{g}}(s)&={\frac {\mp {\frac {s}{V}}}{1+{\frac {3b}{\pi V}}s}}G_{v_{g}}(s)\end{aligned}}}$

これらのフィルタを独立した単位分散の帯域制限されたホワイトノイズで駆動すると、ドライデンモデルの速度成分のスペクトルと一致するパワースペクトル密度の出力が得られます。この出力は、航空機やその他の動的システムの風外乱入力として使用できます。^[6]

ドライデンモデルは、長さスケールと乱流強度によってパラメータ化されます。これら 2 つのパラメータの組み合わせによって、パワースペクトル密度の形状が決まり、観測された乱流のスペクトルに対するモデルの適合度が決まります。長さスケールと乱流強度のさまざまな組み合わせにより、目的の周波数範囲で現実的なパワースペクトル密度が得られます。^[3]国防総省の仕様には、高度への依存性を含め、両方のパラメータの選択肢が含まれています。^[7]

• 継続的な突風
• フォン・カルマン風乱流モデル