会議マトリックス

数学において、会議行列（C行列とも呼ばれる）は、対角線上に 0 があり、対角線外に +1 と −1 がある正方行列 Cであり、 C ^T C は単位行列 Iの倍数である。したがって、行列の次数がnの場合、C ^T C  = ( n −1) Iとなる。一部の著者は、各行と各列に 1 つの 0 が必要であるが、対角線上には必ずしも 0 がないという、より一般的な定義を使用している。^{[1] [2]}

会議行列は、電話技術の問題に関連して最初に登場しました。^{[3]会議行列は、}ヴィトルド・ベレヴィッチ によって最初に説明され、名前も付けられました。ベレヴィッチは、理想的な変圧器から理想的な電話会議ネットワークを構築することに興味があり、そのようなネットワークが会議行列によって表されることを発見したため、会議行列と呼ばれています。^[4] その他の応用としては、統計学、^[5]、楕円幾何学などがあります。^[6]

n > 1の場合 、2 種類の会議行列があります。まず (より一般的な定義を使用する場合)、すべてのゼロが対角線上にあるように行を並べ替え、次に最初のエントリが負である行または列を否定することで、 C を正規化します。(これらの操作によって、行列が会議行列であるかどうかは変わりません。) したがって、正規化された会議行列では、左上隅の 0 を除いて、最初の行と列はすべて 1 になり、対角線では 0 になります。Cの最初の行と列を削除したときに残る行列をSとします。この場合、 nは偶数(4 の倍数) でSは歪対称(最初の行が否定されている場合、正規化されたCと同じです) であるか、 nは奇数( 4 を法として 2 に合同) でS は対称(正規化されたCと同じです) になります。

C がn > 1の次数の対称会議行列である場合、 n は2 mod 4 に一致する だけでなく、 n − 1 は 2 つの平方の和でなければなりません。^[7] van Lint と Seidel による初等行列理論による巧妙な証明があります。 ^[6] n − 1 が素数ベキである場合、 n は常に 2 つの平方の和になります。^[8]

対称会議行列が与えられた場合、行列Sはグラフのザイデル隣接行列として見ることができます。グラフには、Sの行と列に対応するn − 1 個の頂点があり、 S内の対応する要素が負の場合、2 つの頂点は隣接しています。このグラフは、(行列にちなんで)会議グラフと呼ばれるタイプの強正則グラフです。

上記の制約によって許されるn次会議行列の存在は、nの一部の値についてのみ知られています。たとえば、n = q  + 1 でqが 1 mod 4 に合同な素数べきである場合、Paley グラフは、 S をPaley グラフの Seidel 行列とすることで、n次対称会議行列の例を提供します。対称会議行列の最初のいくつかの可能な次数は、 n = 2、6、10、14、18、(21 は 2 つの平方の和ではないため 22 ではない)、26、30、(33 は 2 つの平方の和ではないため 34 ではない)、38、42、46、50、54、(58 ではない)、62 ( OEISのシーケンスA000952 ) です。これらのすべてについて、その次数の対称会議行列が存在することがわかっています。命令66は未解決の問題のようです。

本質的に唯一の6次の会議行列は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&+1&+1&+1&+1&+1\\+1&0&+1&-1&+1\\+1&+1&+1&+1&-1&+1\\+1&+1&+1&+1&-1\\+1&-1&+1&+1&+1&-1\\+1&+1&-1&+1&+1&0\\+1&+1&-1&+1&0\end{pmatrix}}}$。

6 次行列の他のすべての会議行列は、この行列から、いくつかの行および/または列の符号を反転することによって (および、使用されている定義に従って、行および/または列の順列をとることによって) 取得されます。

10次​​の会議行列は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&-1&+1&-1&-1&-1&+1&-1&-1\\-1&0&-1&-1&-1&+1&+1&-1&-1&-1\\-1&-1&0&-1&+1&-1&+1&+1&+1&-1\\+1&-1&-1&0&+1&+1&+1&+1&-1&+1\\-1&-1&+1&+1&0&-1&+1&-1&-1&+1\\-1&+1&-1&+1&-1&0&+1&+1&+1&+1\\-1&+1&+1&+1&+1&+1&0&+1&-1&-1\\+1&-1&+1&+1&-1&+1&+1&0&+1&-1\\-1&-1&+1&-1&-1&+1&-1&+1&0&+1\\-1&-1&-1&+1&+1&+1&-1&-1&+1&0\end{pmatrix}}}$。

歪対称行列は、ペイリー構成によっても生成できます。q を剰余 3 mod 4 を持つ素数冪とします。すると、次数qのペイリー有向グラフがあり、これは次数n = q + 1の歪対称会議行列につながります。 この行列は、 iからjへの有向グラフの弧があり、対角線が 0 の場合、位置 ( i、j  ) に +1、位置 ( j、i ) に -1 を持つq  ×  q行列をSに取ることによって得られます。すると、最初の行がすべて負になるようにSから上記のように構築されたC は、歪対称会議行列です。

この構成は、偶数nに対してn次歪対称会議行列が存在するかどうかを決定する問題のほんの一部しか解決しません。

n次の会議行列は、単にW ( n, n −1) の形の重み行列として定義されることがあります。ここで、 W ( n,w )は、{−1, 0, +1 }の要素を持ち、 W W ^T = w Iを満たすサイズnの正方行列である場合、重みw > 0でn次の行列であると言われます。^[2]この定義を使用すると、ゼロ要素が対角上にある必要がなくなりますが、それでも各行と列に正確に1つのゼロ要素が存在する必要があることは簡単にわかります。たとえば、行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&-1&-1&1\\1&-1&0&-1\\1&1&-1&0\end{pmatrix}}}$

この緩い定義は満たしますが、ゼロ要素が対角線上にあることを要求するより厳密な定義は満たしません。

会議デザインは、会議行列を非直角行列に一般化したものである。会議デザインCは、{−1, 0, +1}の要素を持ち、を満たす行列である。ここで 、は単位行列であり、各行には最大で1つのゼロがある。会議デザインのフォールドオーバーデザインは、決定的スクリーニングデザインとして使用できる。^{[9] [10]}${\displaystyle N\times k}$${\displaystyle W^{\mathrm {T} }W=(N-1)I_{k}}$${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle k\times k}$

ベレビッチは、 nが 38 までのすべての値について会議マトリックスの完全な解を得て、いくつかのより小さなマトリックスの回路を提供した。理想的な会議ネットワークとは、信号損失が複数の会議加入者ポート間で信号が分割されることだけに起因するネットワークである。つまり、ネットワーク内に損失がない。ネットワークには理想的な変圧器のみを含め、抵抗を含めてはならない。n ポートの理想的な会議ネットワークが存在するのは、 n次会議マトリックスが存在する場合のみである。たとえば、3 ポートの会議ネットワークは、電話機や回線リピータで 2 線から 4 線への変換に使用されるよく知られたハイブリッド変圧器回路で構築できる。しかし、3 次会議マトリックスは存在せず、この回路は理想的な会議ネットワークを生成しない。信号を損失する整合には抵抗が必要であり、そうでなければ不整合によって信号が失われる。^[11]

前述のように、会議行列が存在するための必要条件は、n −1 が 2 つの平方の和でなければならないということです。n −1 に対して 2 つの平方の和が複数存在する場合、対応する会議ネットワークには本質的に異なる複数の解が存在することになります。この状況はnが 26 と 66 の場合に発生します。ネットワークはn −1 が完全な平方 ( n = 2、10、26、...) の場合に特に単純になります。^[12]