条件付き依存

確率論において、条件付き依存関係とは、2つ以上のイベントが、3番目のイベントの発生に依存している関係のことです。 ^{[1] [2]}たとえば、とが、それぞれ3番目のイベントの確率を高め、互いに直接影響を及ぼさない2つのイベントである場合、最初は（イベントが発生するかどうかが観察されていないとき）^{[3] [4]}（は独立しています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle C}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ および }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)}$$${\displaystyle A{\text{ と }}B}$

しかし、今、が発生すると観測されたと仮定します。イベントが発生すると、イベントの発生確率は減少します。なぜなら、イベントと の正の関係は、の発生の説明としてそれほど必要ではないからです(同様に、イベントが発生すると の発生確率は減少します)。したがって、2 つのイベントと は、それぞれの発生確率が、他方が発生するかどうかに負に依存しているため、条件付きで互いに負に依存しています。^[5]${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ と }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).}$$

Cが与えられた場合のAとBの条件付き依存性は、条件付き独立性 の論理的否定です。^[6]条件付き独立性では、2つのイベント（依存している場合もそうでない場合もあります）は、3番目のイベントの発生を前提として独立します。^[7]${\displaystyle ((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)}$

本質的に、確率は、イベントの発生可能性に関する個人の情報によって左右されます。たとえば、イベントが「新しい携帯電話を持っている」、イベントが「新しい時計を持っている」、イベントが「私は幸せだ」であるとします。新しい携帯電話または新しい時計を持っていると、私が幸せになる確率が高くなると仮定します。イベントが発生したと仮定します。つまり、「私は幸せだ」です。今、別の人が私の新しい時計を見た場合、その人は私が幸せになる可能性は新しい時計によって高くなったと推論するため、私の幸せを新しい携帯電話に帰する必要は少なくなります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

この例を数値的にもっと具体的にするために、次の表の中央の4列に示されている4つの可能な状態があると仮定します。この表では、イベントの発生は行のaで示され、イベントが発生しないことはaで示され、およびについても同様に示されます。つまり、およびの確率は、すべての場合において${\displaystyle \Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},}$${\displaystyle C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}}.}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle 1/4}$${\displaystyle i.}$

など

この例では、は、の少なくとも 1 つが発生した場合にのみ発生します。無条件に (つまり、 を参照せずに)、と は互いに独立しています。これは、行のに関連付けられた確率の合計が であるのに対し 、 が発生したこと を条件とする(表の最後の 3 つの列) ためであり、 が発生したことを条件とする (表の最後の 3 つの列) ため であり 、 が存在する場合の確率はの有無によって影響を受けるため、と はを条件として相互に依存しています。${\displaystyle C}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}$$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).}$$${\displaystyle C}$$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}}$$$${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid C{\text{ と }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ と }}C{\text{ と }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ と }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}} <\operatorname {P} (A\mid C).}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C.}$

• 条件付き独立性 – 確率論の概念
• ド・フィネッティの定理 – 交換可能な観測の条件付き独立性
• 条件付き期待値 – 特定の条件が発生することがわかっている場合のランダム変数の期待値