計算

計算とは、明確に定義されたあらゆる種類の算術的または非算術的な計算のことである。 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}計算の一般的な例としては、数式を解くことやコンピュータアルゴリズムの実行などがある。

計算を実行する機械装置や電子装置（あるいは、歴史的には人間）はコンピュータと呼ばれます。コンピュータ科学は、計算の研究を含む学問分野です。

導入

数学的命題は「明確に定義」されるべきであるという考えは、少なくとも1600 年代から数学者によって議論されてきたが、^{[ 3 ]}適切な定義についての合意は得られなかった。^{[ 4 ]} 1930 年代には、複数の数学者によって独立して候補となる定義が提案された。^{[ 5 ]}最もよく知られている変種は、数学者アラン・チューリングによって形式化され、彼は明確に定義された命題または計算を、チューリングマシンの初期化パラメータで表現できる命題として定義した。^{[ 6 ]}他の（数学的に同等の）定義には、アロンゾ・チャーチのラムダ定義可能性、ヘルブランド・ゲーデル・クリーネの一般再帰性、エミール・ポストの1-定義可能性などがある。^{[ 5 ]}

今日では、このような明確性を示す形式的な記述や計算はすべて「計算可能」と呼ばれ、記述や計算そのものは「計算」と呼ばれます。

チューリングの定義では、「明確に定義されていること」は、すべての整形式の代数式や現代のコンピュータプログラミング言語で書かれたすべての式を含む、非常に大きなクラスの数学的命題に割り当てられました。^{[ 7 ]}

この定義は広く受け入れられているものの、この定義の下では明確に特徴づけられない数学的概念もいくつか存在する。これには停止問題やビジービーバーゲームなどが含まれる。計算可能な記述と「計算不可能な」記述の両方を捉えることができる、より強力な「明確に定義された」定義が存在するかどうかは未解決の問題である。^{[注1 ]}^{[ 8 ]}

計算可能な数学的命題の例としては、以下のようなものがある。

C++、Python、Javaなどの現代のプログラミング言語で特徴付けられているすべてのステートメント^{[ 7 ]}
電子計算機、電卓、そろばんによって行われるすべての計算
すべての計算は解析エンジン上で実行されました。
すべての計算はチューリングマシン上で実行されます。
数学の教科書に記載されている数学的な記述や計算の大部分は

計算不可能な数学的命題の例としては、以下のようなものがある。

定義が曖昧な計算や記述で、チューリングマシンに明確に符号化できないもの。（「ポールはジョーの2倍私を愛している」）。
一見明確に定義されているように見える問題文だが、それを解くチューリングマシンが存在しないことが証明できるもの（停止問題など）。

計算は、コンピュータと呼ばれる閉じた物理システム内で発生する純粋に物理的なプロセスと見なすことができる。チューリングが1937年に発表した証明「計算可能な数について、決定問題への応用」は、計算可能な命題と、一般にコンピュータと呼ばれる特定の物理システムとの間に形式的な等価性があることを示した。このような物理システムの例としては、チューリングマシン、厳格な規則に従う人間の数学者、デジタルコンピュータ、機械式コンピュータ、アナログコンピュータなどが挙げられる。

計算の代替的説明

マッピングアカウント

計算に関する別の説明は、ヒラリー・パトナムらの著作全体に見られる。ピーター・ゴッドフリー＝スミスはこれを「単純マッピングの説明」と名付けた。^{[ 9 ]}グアルティエロ・ピッチニーニはこの説明を要約して、物理システムが特定の計算を実行すると言えるのは、そのシステムの状態と計算との間にマッピングがあり、「システムの微視的な状態が計算状態間の状態遷移を反映する」場合であると述べている。^{[ 10 ]}

意味論的説明

ジェリー・フォダー^{[ 11 ]}などの哲学者は、意味内容が計算の必要条件であるという制約の下で、さまざまな計算の説明を提案してきた（つまり、任意の物理システムと計算システムを区別するのは、計算のオペランドが何かを表しているという点である）。この考え方は、万物がすべてを計算していると言えるという汎計算主義のマッピングの説明の論理的抽象化を防ごうとするものである。

機械論的説明

グアルティエロ・ピッチニーニは、機械哲学に基づいた計算の説明を提案している。それによると、物理計算システムは、設計上、物理的計算を実行するメカニズムの一種であり、規則に従って「媒体非依存」の乗り物を（機能的なメカニズムによって）操作するものである。「媒体非依存」とは、その特性が複数の実現者と複数のメカニズムによって実現可能であり、メカニズムの入力と出力も複数回実現可能であることを要求する。つまり、媒体非依存によって、電圧以外の特性を持つ物理変数（典型的なデジタルコンピュータの場合など）の使用が可能になる。これは、脳や量子コンピュータで行われるような他のタイプの計算を考察する上で不可欠である。この意味での規則は、物理計算システムの入力、出力、および内部状態間のマッピングを提供する。^{[ 12 ]}

数理モデル

計算理論においては、多様な計算の数学的モデルが開発されてきた。コンピュータの代表的な数理モデルは以下のとおりである。

チューリングマシン、プッシュダウンオートマトン、有限状態オートマトン、PRAMなどの状態モデル
ラムダ計算を含む関数モデル
論理プログラミングを含む論理モデル
アクターモデルやプロセス計算を含む並行モデル

ジュンティは、計算理論で研究されているモデルを計算システムと呼び、それらはすべて離散時間と離散状態空間を持つ数学的力学系であると主張している。 ^{[ 13 ]}^：第1章彼は、計算システムは3つの部分からなる複雑な対象であると主張している。第一に、数学的力学系 $DS$ 離散時間と離散状態空間を持つ。第二に、計算設定 $H=\left(F,B_{F}\right)$ 理論的な部分から構成されている $F$ 、そして本当の部分 $B_{F}$ 第三に、解釈 $I_{DS,H}$ 動的システムをリンクする $DS$ セットアップで $H$ [ ¹⁴^]^{： 179}^～^180ページ

注記

↑計算不可能なステートメントの研究はハイパーコンピューティングの分野です。

参考文献

↑ 「計算の定義」。www.merriam -webster.com。2024年10月11日。 2024年10月12日取得。
↑ 「計算：Answers.com の定義と類義語」。Answers.com。2009年2 月 22 日のオリジナルからアーカイブ済み。2017年4 月 26 日取得。
↑ルイ・クーチュラ（1901年）。la Logique de Leibniz a'Après des Document Inédits。パリ。ISBN 978-0343895099。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
↑デイビス、マーティン; デイビス、マーティン D. (2000).ユニバーサルコンピュータ. WW ノートン & カンパニー. ISBN 978-0-393-04785-1。
1 2デイビス、マーティン (1982-01-01).計算可能性と解不可能性. クーリエ・コーポレーション. ISBN 978-0-486-61471-7。
↑ Turing, AM (1937) [1936年11月に学会で発表]. 「計算可能な数について、決定問題への応用」(PDF) .ロンドン数学会紀要. 2. Vol. 42. pp. 230–65 . doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230 .
1 2デイビス、マーティン; デイビス、マーティン D. (2000).ユニバーサルコンピュータ. WW ノートン & カンパニー. ISBN 978-0-393-04785-1。
↑ Davis, Martin (2006). 「ハイパーコンピューティングという学問分野が存在しない理由」。応用数学と計算。178 (1): 4–7。doi : 10.1016 / j.amc.2005.09.066。
↑ Godfrey-Smith, P. (2009), "機能主義に対する些末性の議論", Philosophical Studies , 145 (2): 273–95 , doi : 10.1007/s11098-008-9231-3 , S2CID 73619367
↑ピッチニーニ、グアルティエロ (2015).物理計算：メカニズム的説明. オックスフォード：オックスフォード大学出版局. p. 18. ISBN 9780199658855。
↑ Fodor, JA (1986)、「心身問題」、サイエンティフィック・アメリカン、244 (1986年1月)
↑ピッチニーニ、グアルティエロ (2015).物理計算：メカニズム的説明. オックスフォード：オックスフォード大学出版局. p. 10. ISBN 9780199658855。
↑ジュンティ、マルコ（1997）。計算、力学、認知。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-509009-3。
↑ジュンティ、マルコ（2017）「計算システムの物理的実現とは何か？」、Isonomia -- Epistemologica、9：177–9 2、ISSN 2037-4348

[8] 計算不可能なステートメントの研究はハイパーコンピューティングの分野です。

[1] 「計算の定義」。www.merriam -webster.com。2024年10月11日。 2024年10月12日取得。

[2] 「計算：Answers.com の定義と類義語」。Answers.com。2009年2 月 22 日のオリジナルからアーカイブ済み。2017年4 月 26 日取得。

[3] ルイ・クーチュラ（1901年）。la Logique de Leibniz a'Après des Document Inédits。パリ。ISBN 978-0343895099。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[Davis_Davis_2000-4] デイビス、マーティン; デイビス、マーティン D. (2000).ユニバーサルコンピュータ. WW ノートン & カンパニー. ISBN 978-0-393-04785-1。

[Davis-5] 1 2デイビス、マーティン (1982-01-01).計算可能性と解不可能性. クーリエ・コーポレーション. ISBN 978-0-486-61471-7。

[6] Turing, AM (1937) [1936年11月に学会で発表]. 「計算可能な数について、決定問題への応用」(PDF) .ロンドン数学会紀要. 2. Vol. 42. pp. 230–65 . doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230 .

[Davis_Davis_2000_p.-7] 1 2デイビス、マーティン; デイビス、マーティン D. (2000).ユニバーサルコンピュータ. WW ノートン & カンパニー. ISBN 978-0-393-04785-1。

[9] Davis, Martin (2006). 「ハイパーコンピューティングという学問分野が存在しない理由」。応用数学と計算。178 (1): 4–7。doi : 10.1016 / j.amc.2005.09.066。

[10] Godfrey-Smith, P. (2009), "機能主義に対する些末性の議論", Philosophical Studies , 145 (2): 273–95 , doi : 10.1007/s11098-008-9231-3 , S2CID 73619367

[11] ピッチニーニ、グアルティエロ (2015).物理計算：メカニズム的説明. オックスフォード：オックスフォード大学出版局. p. 18. ISBN 9780199658855。

[12] Fodor, JA (1986)、「心身問題」、サイエンティフィック・アメリカン、244 (1986年1月)

[13] ピッチニーニ、グアルティエロ (2015).物理計算：メカニズム的説明. オックスフォード：オックスフォード大学出版局. p. 10. ISBN 9780199658855。

[14] ジュンティ、マルコ（1997）。計算、力学、認知。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-509009-3。

[15] ジュンティ、マルコ（2017）「計算システムの物理的実現とは何か？」、Isonomia -- Epistemologica、9：177–9 2、ISSN 2037-4348

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導入

計算の代替的説明

マッピングアカウント

意味論的説明

機械論的説明

数理モデル

関連項目

注記

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関連するトピック

算術的

計算のことである。

数式を

アルゴリズムの