常用対数

数学において、常用対数（じゅうようたい）は底が10の対数である。^[1]これは、 10次対数や底にちなんで10進対数とも呼ばれる。また、標準対数と同様に、この対数の使用を開拓した英国の数学者ヘンリー・ブリッグスにちなんでブリッグス対数とも呼ばれる。歴史的には、 logarithmus decadecis ^[2]またはlogarithmus decadis ^[3]として知られていた。これは、 $log($ $x$ $)$ 、^[4] $log$ $10$ $($ $x$ $)$ 、^[5]または時には大文字の $Lを付けて$ $Log($ $x$ $)$ と表記される。^[a]電卓では「log」と印刷されるが、数学者が「log」と書くときは、通常、常用対数ではなく自然対数（底がe ≈ 2.71828の対数）を意味する。この曖昧さを軽減するために、ISO 80000仕様では、 $log$ $10$ $($ $x$ $) を$ $lg($ $x$ $)$ と書き、 $log$ $e$ $($ $x$ $)を$ $ln($ $x$ $)$ と書くことが推奨されています。

1970 年代初頭までは、携帯型の電子計算機は入手できず、掛け算ができる機械式計算機はかさばり、高価で、広く入手できるものではなかった。その代わりに、科学、工学、航海の分野では、計算尺では達成できないほどの精度が求められる計算に、10 を底とする対数表が使われた。掛け算と割り算を足し算と引き算に変えることで、対数の使用により、面倒で間違いが起きやすい紙と鉛筆による掛け算と割り算を回避できた。^[1]対数は非常に便利だったため、多くの教科書の付録に 10 を底とする対数表が掲載されていた。数学や航海のハンドブックには、三角関数の対数表も含まれていた。^[6]このような表の歴史については、対数表を参照。

仮数と特性

10 を底とする対数の重要な特性は、10 の累乗倍異なる 1 より大きい数の対数はすべて同じ小数部を持つという点です。この小数部は仮数部と呼ばれます。^[b]したがって、対数表には小数部のみを示せばよいことになります。常用対数表には通常、1000 から 9999 などの範囲内の各数値の仮数が小数点以下 4 桁または 5 桁以上で記載されています。

特性と呼ばれる整数部分は、小数点を最初の有効数字のすぐ右に移動させるには、小数点を何桁移動させる必要があるかを数えるだけで計算できます。たとえば、120 の対数は次のように計算されます。

\log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.

最後の数値 (0.07918) は、120 の常用対数の小数部または仮数部であり、示されている表に記載されています。120 の小数点の位置から、120 の常用対数の整数部、つまり特性が 2 であることがわかります。

負の対数

1未満の正の数は負の対数になります。例えば、

\log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.

正の対数と負の対数を元の数値に戻すために別の表を用意する必要がないように、負の対数を負の整数特性と正の仮数の組み合わせとして表すことができます。これを簡単にするために、バー表記と呼ばれる特別な表記法が使用されます。

\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.

特性の上のバーは負であることを示し、仮数は正のままです。バー表記の数字を声に出して読む場合、記号は「バー $n$ 」と読み上げられ、これは「バー 2 ポイント 07918...」と読み上げられます。別の慣例には、10 を法とする対数表現があります。この場合、 ${\bar {n}}$ ${\bar {2}}.07918$

\log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,

計算結果の実際の値は、結果の合理的な範囲の知識によって決定されます。^[c]

次の例では、バー表記を使用して 0.012 × 0.85 = 0.0102 を計算します。

{\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}

* このステップにより、仮数が 0 と 1 の間になるため、その逆対数(10^仮数) を検索できるようになります。

次の表は、10 の累乗で異なる数値の範囲に同じ仮数を使用する方法を示しています。

$仮数は5 \times 10 i$ のすべてに共通であることに注意。これは任意の正の実数に当てはまる。 $x$

\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.

$i$ は定数なので、仮数はから得られ、は与えられたに対して定数です。これにより、対数表には仮数ごとに 1 つのエントリのみを含めることができます。 $5$ $\times$ $10$ $i$ の例では、0.698 970 (004 336 018 ...) は 5 (または 0.5、500 など) でインデックス付けされると一覧表示されます。 $\log _{10}(x)$ $x$

計算尺の目盛りには、対数の差に比例した距離で数字が配置されています。下の目盛りの 1 から 2 までの距離と上の目盛りの 1 から 3 までの距離を機械的に加算すると、

2 \times 3 = 6

であることがすぐにわかります。

歴史

常用対数は、17 世紀のイギリスの数学者ヘンリー・ブリッグスにちなんで「ブリッグス対数」と呼ばれることもあります。1616 年と 1617 年に、ブリッグスは、現在では自然対数 (底e ) と呼ばれている対数の発明者であるエディンバラのジョン・ネイピアを訪ね、ネイピアの対数を変更するよう提案しました。これらの会議で、ブリッグスが提案した変更が承認され、2 度目の訪問から戻った後、彼は自身の対数の最初の千単位を出版しました。

10 を底とする対数は計算に最も便利なので、エンジニアは一般に $log$ $10$ $($ $x$ $)$ を意味するときに単に「 $log (x)$ 」と書きました。一方、数学者は自然対数の $log$ $e$ $($ $x$ $)$ を意味するときに「 $log($ $x$ $)$ 」と書きました。今日では、両方の表記法が見られます。携帯型電子計算機は数学者ではなくエンジニアによって設計されているため、エンジニアの表記法に従うのが慣例となっています。したがって、自然対数を意味するときに「 $ln($ $x$ $)$ 」と書く表記法は、「常用対数」の使用をはるかに少なくした電子計算機の発明によってさらに普及した可能性があります。

数値

10を底とする対数の数値は、次の等式で計算できる。^[5]

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

またはまたは

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad

利用可能な任意の底の対数を使用する $\,B~.$

対数の底が $e の$ 場合( 「自然対数」§「効率的な計算」を参照) と対数の底が 2 の場合( 「2 進対数を計算するアルゴリズム」を参照)の数値を決定する手順が存在するためです。

派生語

底bの対数の微分は次のようになる^[8]

${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ 、それで。 ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$

参照

注記

^ $Log$ という表記は、複素自然対数多値関数を意味する場合もあるため、曖昧です。
^ 仮数という語のこの用法は、古くからある非数値的な意味、つまり、例えばテキストへの小さな追加や補足に由来する。^[^要出典^{]この語は}ヘンリー・ブリッグスによって導入された。^[7]「仮数」という語は、浮動小数点数の有効桁を表す部分を表すためによく使われるが、 IEEE 754では「仮数部」という用語が使われており、対数仮数との混同を避けるためにこちらのほうが好まれるかもしれない。
^ たとえば、ベッセル、FW (1825)。 "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen"。天文学者。331 (8): 852–861。arXiv : 0908.1823。ビブコード:1825AN....4..241B。土井：10.1002/asna.18260041601。S2CID 118630614。は（第8節の冒頭）、を与えます。文脈から、はトワーズ単位の地球楕円体の短半径（大きい数）であり、は地球楕円体の離心率（小さい数）であることがわかります。 $\log b=6.51335464$ $\log e=8.9054355$ $b=10^{6.51335464}$ $e=10^{8.9054355-10}$

参考文献

^ ab ホール、アーサー・グラハム; フリンク、フレッド・グッドリッチ (1909)。「第4章対数 [23] 常用対数」。三角法。第1巻パートI:平面三角法。ニューヨーク:ヘンリー・ホルト・アンド・カンパニー。31ページ。
^ オイラー、レオンハルト;アンドレアス・シュパイザー;デュ・パスキエ、ルイ・ギュスターヴ。ハインリヒ・ブラント;トロスト、エルンスト (1945) [1748]。シュパイザー、アンドレアス(編)。Analysin Infinitorum の紹介 (パート 2)。 1 (ラテン語)。 Vol. 9. BGトイブナー {{cite book}}:|work=無視されました (ヘルプ)
^ シャーファー、P. カロロ (1772)。 Institutionum Analytikarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (ラテン語)。 Vol. 2. ジョアニス・トーメ・ノブデ・トラットネルン。 p. 198.
^ 「対数入門」www.mathsisfun.com . 2020年8月29日閲覧。
^ ab Weisstein, Eric W. 「Common Logarithm」。mathworld.wolfram.com 。 2020年8月29日閲覧。
^ ヘドリック、アール・レイモンド（1913年）。対数表と三角関数表。ニューヨーク、米国：マクミラン。
^ シュワルツマン、スティーブン（1994-12-31）。数学の言葉：英語の数学用語の語源辞典。アメリカ数学協会。p. 131。ISBN 978-1-61444-501-2。
^ “対数関数の導関数”. Math24 . 2021-04-14. 2020-10-01時点のオリジナルよりアーカイブ。

文献

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モーザー、マイケル (2009)。音響工学：騒音制御入門。シュプリンガー。p. 448。ISBN 978-3-540-92722-8。
ポリヤニン、アンドレイ・ドミトリエヴィッチ、マンジロフ、アレクサンダー・ウラジミロヴィッチ (2007) [2006-11-27]。エンジニアと科学者のための数学ハンドブック。CRC Press。p . 9。ISBN 978-1-58488-502-3。

[6] $Log$ という表記は、複素自然対数多値関数を意味する場合もあるため、曖昧です。

[9] 仮数という語のこの用法は、古くからある非数値的な意味、つまり、例えばテキストへの小さな追加や補足に由来する。^[^要出典^{]この語は}ヘンリー・ブリッグスによって導入された。^[7]「仮数」という語は、浮動小数点数の有効桁を表す部分を表すためによく使われるが、 IEEE 754では「仮数部」という用語が使われており、対数仮数との混同を避けるためにこちらのほうが好まれるかもしれない。

[10] たとえば、ベッセル、FW (1825)。 "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen"。天文学者。331 (8): 852–861。arXiv : 0908.1823。ビブコード:1825AN....4..241B。土井：10.1002/asna.18260041601。S2CID 118630614。は（第8節の冒頭）、を与えます。文脈から、はトワーズ単位の地球楕円体の短半径（大きい数）であり、は地球楕円体の離心率（小さい数）であることがわかります。 $\log b=6.51335464$ $\log e=8.9054355$ $b=10^{6.51335464}$ $e=10^{8.9054355-10}$

[Hall_1909-1] ホール、アーサー・グラハム; フリンク、フレッド・グッドリッチ (1909)。「第4章対数 [23] 常用対数」。三角法。第1巻パートI:平面三角法。ニューヨーク:ヘンリー・ホルト・アンド・カンパニー。31ページ。

[Euler_1748-2] オイラー、レオンハルト;アンドレアス・シュパイザー;デュ・パスキエ、ルイ・ギュスターヴ。ハインリヒ・ブラント;トロスト、エルンスト (1945) [1748]。シュパイザー、アンドレアス(編)。Analysin Infinitorum の紹介 (パート 2)。 1 (ラテン語)。 Vol. 9. BGトイブナー {{cite book}}:|work=無視されました (ヘルプ)

[Scherffer_1772-3] シャーファー、P. カロロ (1772)。 Institutionum Analytikarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (ラテン語)。 Vol. 2. ジョアニス・トーメ・ノブデ・トラットネルン。 p. 198.

[4] 「対数入門」www.mathsisfun.com . 2020年8月29日閲覧。

[:0-5] Weisstein, Eric W. 「Common Logarithm」。mathworld.wolfram.com 。 2020年8月29日閲覧。

[Hedrick_1913-7] ヘドリック、アール・レイモンド（1913年）。対数表と三角関数表。ニューヨーク、米国：マクミラン。

[8] シュワルツマン、スティーブン（1994-12-31）。数学の言葉：英語の数学用語の語源辞典。アメリカ数学協会。p. 131。ISBN 978-1-61444-501-2。

[11] “対数関数の導関数”. Math24 . 2021-04-14. 2020-10-01時点のオリジナルよりアーカイブ。