クローペンセット

位相空間におけるクローペン集合（閉開集合の合成語）とは、開いていると同時に閉じている集合のことである。これが可能であることは、開いていると閉じているのが一般的には反意語であることから、直感に反するように思えるかもしれないが、数学的な定義は互いに排他的ではない。集合は、その補集合が開いている場合に閉じている。したがって、補集合も開いている開集合が存在する可能性があり、その場合、両方の集合が開いていると同時に閉じている、つまりクローペン集合となる。位相学者のジェームズ・マンクレスが述べたように、ドアとは異なり、「集合は開いているか、閉じているか、両方であるか、どちらでもないかのどちらかである！」^{[ 1 ]。}これは、ドアの「開いている」/「閉じている」の意味は、集合の「開いている」/「閉じている」の意味とは無関係であることを強調している（したがって、ドアの開閉の二分法は、集合の開閉には適用されない）。このドアとの対比が、「ドア空間」として知られる位相空間のクラスにその名前を与えた。

任意の位相空間において${\displaystyle X,}$空集合と空間全体${\displaystyle X}$両方とも開環している。^{[ 2 ] [ 3 ]}

次に空間について考えてみましょう${\displaystyle X}$これは2つの開区間の和集合から成ります${\displaystyle (0,1)}$そして${\displaystyle (2,3)}$の${\displaystyle \mathbb {R} .}$トポロジー​​${\displaystyle X}$実数直線上の通常の位相から部分空間位相として継承される${\displaystyle \mathbb {R} .}$で${\displaystyle X,}$セット${\displaystyle (0,1)}$は clopen であり、セットも同様です。${\displaystyle (2,3).}$これは非常に典型的な例です。このように有限個の互いに素な連結成分から構成される空間の場合、それらの成分はクロープオープンになります。

さあ${\displaystyle X}$離散距離の下で無限集合となる、つまり2点 ${\displaystyle p,q\in X}$点同士が同じでない場合は距離が 1、そうでない場合は 0 となる。結果として得られる距離空間では、任意の単一点集合は開集合である。したがって、単一点の和集合である任意の集合も開集合である。任意の集合が開集合であるため、任意の集合の補集合も開集合であり、したがって任意の集合は閉集合である。したがって、この距離空間内のすべての集合は閉集合である。

より現実的な例として、宇宙を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbb {Q} }$通常の位相を持つすべての有理数、および集合${\displaystyle A}$2 より大きいすべての正の有理数のうち、$\displaystyle {\sqrt {2}}}$は${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$簡単に示すことができるのは${\displaystyle A}$は、${\displaystyle \mathbb {Q} .}$（${\displaystyle A}$実数直線のクローペン部分集合ではない${\displaystyle \mathbb {R} }$; 開いているわけでも閉じているわけでもない${\displaystyle \mathbb {R} .}$）

• 位相空間${\displaystyle X}$は、唯一の clopen セットが空集合と${\displaystyle X}$自体。
• 集合が閉じているのは、その境界が空集合である場合に限る。^{[ 4 ]}
• 空間の任意の開部分集合${\displaystyle X}$は、(おそらく無限に多くの)連結されたコンポーネントの和集合である。${\displaystyle X}$。
• すべての接続コンポーネント${\displaystyle X}$開いている（例えば、${\displaystyle X}$有限個のコンポーネントしか持たない場合、または${\displaystyle X}$がローカルに接続されている場合、セットは clopen になります。${\displaystyle X}$連結成分の和集合である場合に限る。
• 位相空間${\displaystyle X}$が離散的であるのは、そのすべての部分集合が開集合である場合に限る。
• 和集合と積集合を演算として使用して、与えられた位相空間の開部分集合${\displaystyle X}$ブール代数を形成する。すべてのブール代数は、適切な位相空間からこの方法で得ることができる。ブール代数に関するストーンの表現定理を参照のこと。

• 集合の恒等式と関係のリスト– 集合の組み合わせに関する等式 

• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。​ （視覚障害のある利用者も利用可能）
• モリス、シドニー A. 「涙なしのトポロジー」 。2013年4月19日にオリジナルからアーカイブ済み。