弦（幾何学）

円の弦(ラテン語の chorda に由来、意味は「弦」) は、両端が円弧上にある直線セグメントです。弦を両方向に無限に延長して直線にすると、そのオブジェクトは割線になります。弦の中点を通る垂直線は、sagitta (ラテン語で「矢印」) と呼ばれます。

より一般的には、弦とは、楕円などの曲線上の 2 点を結ぶ線分です。円の中心点を通る弦は、円の直径です。

円の弦の特性には次のものがあります。

1. 弦の長さが等しい場合にのみ、弦は中心から等距離にあります。
2. 等しい弦は、円の中心から等しい角度で伸びます。
3. 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その特定の円の最長の弦となります。
4. 弦ABと弦CDの延長線（割線）が点Pで交差する場合、その長さはAP·PB = CP·PD（点のべき乗定理）を満たします。

円錐曲線の平行弦の中点は同一直線上にある（円錐曲線の中点定理）。^[1]

弦は三角法の初期の発展において広く使われていた。紀元前2世紀にヒッパルコスが編纂した最初の三角法表は現存していないが、弦関数の値を7ごとに表にまとめている。+1/2⁠ 度。紀元2世紀、プトレマイオスは天文学の本の中で、より広範な弦の表を編纂し、 ⁠から ⁠ までの角度の弦の値を示しました。1/2⁠ 180度ずつ増分する1/2⁠度。プトレマイオスは直径120の円を使用し、弦の長さを整数部の後に60進法の2桁の精度で与えた。 ^[2]

弦関数は、図に示すように幾何学的に定義されます。角度の弦とは、中心角で隔てられた単位円上の 2 点間の弦の長さです。角度θは正の意味でとられ、0 < θ ≤ π (ラジアン測定) の間隔内になければなりません。弦関数は、点の 1 つを (1,0)、もう 1 つの点を ( cos θ、sin θ ) とし、ピタゴラスの定理を使用して弦の長さを計算することで、現代の正弦関数と関連付けることができます。^[2]

${\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$ ^[3]

最後のステップでは、半角の公式を使用します。現代の三角法が正弦関数に基づいているのと同様に、古代の三角法は弦関数に基づいていました。ヒッパルコスは弦に関する 12 巻の著作を書いたと言われていますが、現在はすべて失われているため、弦については多くのことがわかっていたと考えられます。下の表 ( cは弦の長さ、D は円の直径) では、弦関数は、よく知られている現代のものと類似した多くの恒等式を満たすことがわかります。

逆関数も存在する: ^[4]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

• 円セグメント- 円の中心と境界上の円弧の 2 つの端点によって形成される三角形を削除した後に残る扇形の部分。
• コードのスケール
• プトレマイオスの弦表
• ホールディッチの定理、凸閉曲線上で回転する弦の場合
• 円グラフ
• エクセカントとエクコセカント
• ヴェルサインとハバーサイン- ( )${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$
• ジンドラー曲線（弧の長さを半分に分けるすべての弦の長さが同じである閉じた単純な曲線）
• ベルトランのパラドックス（確率）弦の平均長さのパラドックス

ウィキメディア・コモンズには、弦 (幾何学)に関連するメディアがあります。

• 三角法の歴史の概要
• 三角関数 2017-03-10にWayback Machineでアーカイブされ、歴史に焦点を当てています
• 弦（円）インタラクティブアニメーション付き