チャープ質量

天体物理学において、コンパクト連星系のチャープ質量は、重力波の放出によるエネルギー損失の結果として、系の軌道進化の主要項を決定します。重力波の周波数は軌道周波数によって決まるため、チャープ質量は連星系の合体段階で放出される重力波信号の周波数変化も決定します。重力波データの解析においては、2つの構成星の質量を個別に測定するよりも、チャープ質量を測定する方が容易です。

構成要素の質量を持つ2体システム${\displaystyle m_{1}}$そして${\displaystyle m_{2}}$チャープ質量は^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]である。}

$${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$$

チャープ質量は、システム全体の質量で表すこともできる。${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$その他一般的な質量パラメータ：

• 減質量${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$:$${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mu ^{3/5}M^{2/5},}$$
• 質量比${\displaystyle q=m_{1}/m_{2}}$:$${\displaystyle {\mathcal {M}}=\left[{\frac {q}{(1+q)^{2}}}\right]^{3/5}M,}$$または
• 対称質量比${\displaystyle \eta ={\frac {m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}={\frac {\mu }{M}}={\frac {q}{(1+q)^{2}}}=\left({\frac {m_{\rm {geo}}}{M}}\right)^{2}}$:$${\displaystyle {\mathcal {M}}=\eta ^{3/5}M.}$$
  • 対称質量比は最大値に達する${\displaystyle \eta ={\frac {1}{4}}}$いつ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$それで${\displaystyle {\mathcal {M}}=(1/4)^{3/5}M\approx 0.435\,M.}$
• 構成要素の質量の幾何平均${\displaystyle m_{geo}={\sqrt {m_{1}m_{2}}}}$:$${\displaystyle {\mathcal {M}}=m_{\rm {geo}}\left({\frac {m_{\rm {geo}}}{M}}\right)^{1/5},}$$
  • 2 つの構成要素の質量がほぼ同じであれば、後者の係数は${\displaystyle (1/2)^{1/5}=0.871,}$それで${\displaystyle {\mathcal {M}}\approx 0.871\,m_{\rm {geo}}}$この乗数は、構成部品の質量が異なると減少しますが、非常にゆっくりと減少します。たとえば、質量比が 3:1 の場合、次のようになります。${\displaystyle {\mathcal {M}}=0.846\,m_{\rm {geo}}}$10:1の質量比の場合は${\displaystyle {\mathcal {M}}=0.779\,m_{\rm {geo}}.}$

一般相対性理論では、連星軌道の位相進化は、軌道速度のべき乗による摂動展開であるポストニュートン展開を用いて計算できる。${\displaystyle v/c}$一次重力波周波数、${\displaystyle f}$進化は微分方程式^{[ 1 ]}によって記述される。

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3},}$$

どこ${\displaystyle c}$そして${\displaystyle G}$はそれぞれ光速とニュートンの万有引力定数である。

周波数を測定できる場合${\displaystyle f}$周波数微分${\displaystyle {\dot {f}}}$重力波信号からチャープ質量を決定できる。^{[ 4 ] [ 5 ] [注1 ]}

システム内の個々の構成要素の質量を分離するには、ポストニュートン展開の高次項も測定する必要がある。^{[ 1 ]}

チャープ質量の限界の一つは、赤方偏移の影響を受けることです。実際に観測された重力波形から導出されるのは、その積です。 $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{o}={\mathcal {M}}(1+z)}$$ どこ${\displaystyle z}$赤方偏移である。^{[ 7 ] [ 8 ]}この赤方偏移したチャープ質量はソースチャープ質量よりも大きく^{[注2 ]}、赤方偏移を見つけることによってのみソースチャープ質量に変換できる。${\displaystyle z}$。

これは通常、観測された振幅を使用してチャープ質量を距離で割った値を求め、ハッブルの法則を使用して両方の式を解いて距離と赤方偏移の関係を計算することによって解決されます。^{[注3 ]}

Xian Chen氏は、この仮定は非宇宙論的赤方偏移（固有速度と重力赤方偏移）が無視できるとしている点を指摘し、この仮定に疑問を呈している。^{[ 9 ] [ 10 ]}恒星質量ブラックホールの連星が超大質量ブラックホールの周りを近距離で周回しながら合体する場合（極端な質量比の合体）、観測される重力波は大きな重力赤方偏移とドップラー赤方偏移を受け、結果として赤方偏移の推定値が実際よりも低く、したがって質量が実際よりも高く見積もられることになる。同氏は、超大質量ブラックホールの降着円盤と潮汐力がその近傍のブラックホール連星の合体率を高め、結果として生じる質量の推定値が実際よりも高く見積もられることで、観測されたブラックホール合体の質量が予想外に大きいことが説明できると考えるもっともらしい理由があると示唆している。（この問題は、極端な質量比の合体波形を観測できるLISAのような低周波重力波検出器によって最もよく解決されるだろう。）

• 質量が減少
• 一般相対性理論における二体問題