空間電荷

空間電荷は、電荷の集合を解釈したもので、過剰な電荷は、個別の点状の電荷ではなく、空間領域 (体積または面積) に分散された電荷の連続体として扱われます。このモデルは、通常、電荷キャリアが固体の特定の領域から放出された場合に適用されます。放出されたキャリアの雲が十分に拡散している場合は空間電荷領域を形成できます。また、固体内に残された帯電原子または分子は、空間電荷領域を形成できます。

空間電荷効果は、誘電媒体（真空を含む）で最も顕著に現れます。導電性の高い媒体では、電荷は急速に中和または遮蔽される傾向があります。空間電荷の符号は、負または正のいずれかになります。この状況は、真空中で金属物体が白熱するまで加熱されたときのその近くの領域で最もよく知られているでしょう。この効果は、トーマス・エジソンが電球のフィラメントで初めて観察し、エジソン効果と呼ばれることもあります。空間電荷は、多くの真空および固体電子デバイス で重要な現象です。

金属物体を真空中に置いて白熱させると、そのエネルギーによって電子が表面の原子から「沸騰」し、金属物体を自由電子の雲で囲みます。これを熱電子放出といいます。結果として生じる雲は負に帯電し、近くにある正に帯電した物体に引き寄せられ、真空を通過する電流が発生します。

空間電荷はさまざまな現象によって発生しますが、最も重要なものは次のとおりです。

1. 電流密度と空間的に不均一な抵抗の組み合わせ
2. 誘電体内の種のイオン化によりヘテロ電荷が形成される
3. 電極からの電荷注入と応力増強
4. 水ツリーなどの構造における分極。「水ツリー」は、水を含浸させたポリマー絶縁ケーブルに現れる樹木のような形状に付けられた名前です。^{[1] [2]}

交流電流(AC)では、半サイクル中に電極に注入されたキャリアのほとんどが次の半サイクル中に放出されるため、サイクル中の正味の電荷バランスは実質的にゼロになると言われています。ただし、キャリアのごく一部は、電界が反転したときに保持できるほど深いレベル^{[明確化が必要]に捕捉される可能性があります。AC の電荷量は}直流電流(DC)よりもゆっくりと増加し、より長い期間を経てから観測可能になります。

ヘテロ電荷とは、空間電荷の極性が隣接する電極の極性と反対であることを意味し、ホモ電荷はその逆の状況です。高電圧を印加すると、電極近くのヘテロ電荷は破壊電圧を低下させると予想されますが、ホモ電荷は破壊電圧を上昇させます。交流条件下で極性が反転すると、ホモ電荷はヘテロ空間電荷に変換されます。

真空に近い状態の圧力が10 ⁻⁶ mmHg以下であれば、伝導の主な媒体は電子です。空間電荷がない場合、陰極からの放出電流密度（J）は、熱​​力学的温度Tの関数として、リチャードソンの法則で与えられます。 ここで $${\displaystyle J=(1-{\tilde {r}})A_{0}T^{2}\exp \left({\frac {-\phi }{kT}}\right)}$$

• ${\displaystyle A_{0}={\frac {4\pi em_{\mathrm {e} }k^{2}}{h^{3}}}\approx 1.2\times 10^{6}\mathrm {A{\cdot }m^{-2}{\cdot }K^{-2}} }$
• e = 正電荷（つまり電子電荷の大きさ）、
• m _e = 電子質量、
• k =ボルツマン定数=1.38 × 10 ⁻²³  J/K、
• h =プランク定数=6.62 × 10 ⁻³⁴  J⋅s、
• ϕ =カソードの仕事関数、
• ${\displaystyle {\tilde {r}}}$= 平均電子反射係数。

反射係数は0.105程度まで下がることもありますが、通常は0.5程度です。タングステンの場合、(1 − ) A ₀ =${\displaystyle {\tilde {r}}}$(0.6～1.0) × 10 ⁶  A⋅m ⁻² ⋅K ⁻²、ϕ = 4.52 eV。2500 ℃では、放射は28207 A/m ²です。

上記の放出電流は、キャビティマグネトロンなどの一部のパルス バルブを除いて、電極によって通常収集される電流よりも何倍も大きくなります。 陰極から放出された電子のほとんどは、その近くの電子雲の反発によって陰極に戻ります。 これは空間電荷効果と呼ばれます。 電流密度が大きい極限では、J は上記の熱電子放出方程式ではなく、以下のチャイルド-ラングミュア方程式によって与えられます。

空間電荷は、すべての真空管に固有の特性です。この特性により、真空管を設計に使用した電気技術者の作業が困難になったり、容易になったりすることがあります。たとえば、空間電荷は三極 管アンプの実用化を著しく制限しましたが、この三極管アンプは、真空管四極管などのさらなる革新につながりました。

一方、空間電荷は真空管の用途によっては有用であった。真空管のエンベロープ内に負の起電力を生成し、これを利用して真空管のグリッドに負のバイアスをかけることができるからである。グリッドバイアスは、制御電圧に加えてグリッド電圧を印加することでも実現できる。これにより、エンジニアの制御と増幅の忠実度が向上する。これにより、 6 ボルトまたは 12 ボルトの陽極電圧のみを必要とするカーラジオ用の空間電荷真空管の構築が可能になった(代表的な例としては、6DR8/EBF83、6GM8/ECC86、6DS8/ECH83​​、6ES6/EF97、6ET6/EF98 など)。

空間電荷は誘電体内でも発生することがあります。たとえば、高電圧電極付近のガスが絶縁破壊を起こし始めると、電極付近の領域に電荷が注入され、周囲のガス内に空間電荷領域が形成されます。空間電荷は、高電界によって応力を受ける固体または液体の誘電体内でも発生することがあります。固体誘電体内に閉じ込められた空間電荷は、高電圧電力ケーブルやコンデンサ内の誘電体破損につながる要因となることがよくあります。

半導体物理学では、電荷キャリアが枯渇した空間電荷層は、p-n接合の整流動作と太陽電池の電圧の上昇を説明するためのモデルとして使用されます。

1911年にクレメント・D・チャイルドによって初めて提唱されたチャイルドの法則は、平行平板真空ダイオードの空間電荷制限電流（SCLC）は、陽極電圧の3乗に比例し、陰極と陽極を隔てる距離dの2乗に反比例するというものです。^[3]${\displaystyle V}$

電子の場合、電流密度J (アンペア/平方メートル) は次のように表されます。 ここで、は陽極電流、S は電流を受ける陽極の表面積、は電子の電荷の大きさ、は電子の質量です。この式は「3 分の 1 乗の法則」またはチャイルド・ラングミュアの法則としても知られています。チャイルドはもともと、電荷と質量の比率がはるかに小さい原子イオンの場合にこの式を導き出しました。アーヴィング・ラングミュアは1913 年にこの電子電流への応用を発表し、円筒形の陰極と陽極の場合に拡張しました。^[4]$${\displaystyle J={\frac {I}{S}}={\frac {4\varepsilon _{0}}{9}}{\sqrt {\frac {2e}{m_{\mathrm {e} }}}}{\frac {V^{3/2}}{d^{2}}}.}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$

この式の妥当性は、以下の仮定に基づいています。

1. 電子は電極間を弾道的に移動します（つまり、散乱はありません）。
2. 電極間領域では、イオンの空間電荷は無視できます。
3. 電子は陰極表面では速度がゼロになります。

散乱（弾道輸送）がないという仮定は、チャイルド・ラングミュアの法則の予測をモット・ガーニーの法則の予測と異なるものにしています。モット・ガーニーの法則は定常状態のドリフト輸送を仮定しており、したがって強い散乱を仮定しています。

チャイルドの法則は1995年にビュフォード・R・コンリーによって、陰極表面の速度がゼロでない場合にも一般化され、次の式で表される。^[5]

${\displaystyle {I}={\frac {2\varepsilon _{0}m}{9qd^{2}}}\left(\left.\nu _{\text{initial}}^{3/2}-\left(\nu _{\text{initial}}^{2}+{\frac {2qV}{m}}\right)^{3/4}\right)\right)^{2}}$

ここで、 は粒子の初期速度です。 がゼロに等しい特別なケースでは、この式はチャイルドの法則に簡約されます。 ${\displaystyle \nu _{\text{initial}}}$${\displaystyle \nu _{\text{initial}}}$

近年、2つのレビュー論文で報告されているように、SCLC電流のさまざまなモデルが改訂されています。^{[6] [7]}

半導体や絶縁体では、電界によって荷電粒子である電子が電界の方向と平行な特定のドリフト速度に達する。これは、電界によって粒子が加速される真空中の自由荷電粒子の挙動とは異なる。ドリフト速度と電界の大きさの比例係数は移動度と 呼ばれる。${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle v=\mu {\mathcal {E}}}$$

真空ダイオードに適用される空間電荷制限電流のチャイルドの法則の挙動は、単一キャリアデバイスの半導体/絶縁体には一般に適用されず、モット・ガーニーの法則に置き換えられます。 2つの選択的オーム接点に挟まれた厚さ の薄い材料のスラブの場合、スラブを流れる電流密度 は次のように与えられます。^{[8] [9]} ここで、はスラブに印加された電圧、は固体の誘電率です。 モット・ガーニーの法則は、真性半導体全体の電荷輸送に関する重要な洞察を提供します。つまり、金属または高ドープ半導体全体の電荷輸送から予想されるように、ドリフト電流が印加電圧とともに直線的に増加する（つまり、オームの法則 ）ことを期待すべきではないということです。 モット・ガーニーの法則で未知数は電荷キャリアの移動度 だけなので、この式は真性半導体内の電荷輸送を特徴付けるために一般的に使用されます。しかし、モット・ガーニーの法則をアモルファス半導体、および欠陥や非オーミック接触を含む半導体の特性評価に使用する場合は、電流の大きさと電圧に対するべき乗法則の依存性の両方に大きな偏差が見られるため、注意が必要です。このような場合、モット・ガーニーの法則は特性評価にそのまま使用することはできず、代わりに欠陥や非理想的な注入を考慮できる他の方程式を使用する必要があります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle J}$ $${\displaystyle J={\frac {9}{8}}\varepsilon \mu {\frac {V^{2}}{L^{3}}},}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \mu}$

モット・ガーニーの法則を導出する際には、次の仮定を立てる必要があります。

1. 存在する電荷キャリアは 1 種類だけ、つ​​まり電子または正孔だけです。
2. この材料には固有の導電性はありませんが、一方の電極から電荷が注入され、もう一方の電極によって捕捉されます。
3. キャリア移動度、および誘電率、はサンプル全体で一定です。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \epsilon }$
4. 電流の流れはトラップやエネルギーの乱れによって制限されません。
5. この電流は主にドーピングによるものではありません。
6. 電荷注入電極の電界はゼロであり、電流はドリフトのみによって制御されることを意味します。

導出

電流が流れる厚さ の結晶を考えてみましょう。表面からの距離を、単位体積あたりの電子数を とします。すると、電流 には 2 つの寄与があり、1 つはドリフトによるもので、もう 1 つは拡散によるものです。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle J}$${\displaystyle E(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n(x)}$$${\displaystyle J=en{\mu }E-De{\frac {dn}{dx}},}$$

電子の移動度と拡散係数は、次のようになります。ラプラス方程式は、場に対して次のように表します。 ${\displaystyle {\mu}}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle {\frac {dE}{dx}}=e{\frac {n}{\varepsilon }}.}$$

したがって、 を消去すると、次のようになります。 ${\displaystyle n}$$${\displaystyle J={\varepsilon }{\mu }E{\frac {dE}{dx}}-\varepsilon D{\frac {d^{2}E}{dx^{2}}}.}$$

積分し、アインシュタインの関係式を利用し、項を無視すると、電場について次の式が得られます。 ここで、 は定数です。およびと仮定しているため、項を無視できます。 ${\textstyle {\frac {dE}{dx}}}$$${\displaystyle E={\sqrt {{\frac {2J}{\varepsilon \mu }}(x+x_{0})}},}$$${\displaystyle x_{0}}$${\textstyle {\frac {dE}{dx}}}$${\textstyle {\frac {dE}{dx}}\sim {\frac {E}{L}}}$${\textstyle KT{\frac {dE}{dx}}\ll eE^{2}}$

、 なので、次が成り立ちます。 ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle n=n_{0}}$

したがって、結晶全体の電位降下は次のようになります。

( ⁎ ) と ( ⁎⁎ )を利用すると、について書くことができます。 が小さい場合、は小さく、 となるため、次のようになります。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J}$${\displaystyle x_{0}\ll L}$

したがって、電流は の二乗に比例して増加します。 が大きく、の場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x_{0}\gg L}$$${\displaystyle J={\frac {1}{2}}{\frac {e\mu n_{0}V}{L}}.}$$

応用例として、電荷キャリア移動度が 1500 cm ² /Vs、比誘電率が 11.9、面積が 10 ⁻⁸ cm ²、厚さが 10 ⁻⁴ cm の真性シリコンの定常空間電荷制限電流は、オンライン計算機で 3 V で 126.4 μA と計算できます。この計算が正確であるためには、上記のすべての点を前提とする必要があることに注意してください。

電子/正孔輸送が伝導帯/価電子帯端から伸びる指数関数的な裾の形のトラップ状態によって制限される場合、 ドリフト電流密度はマーク・ヘルフリッヒ方程式で与えられます。^[10] ここで、は基本電荷、は熱エネルギー、は半導体内の電荷キャリアタイプの有効状態密度、つまり、または、はトラップ密度です。 $${\displaystyle n_{\mathrm {t} }={\frac {N_{\mathrm {t} }}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {c} }}}\exp \left(-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {c} }}}\right),}$$ $${\displaystyle J=q^{1-\ell }{\mu }{N_{\mathrm {eff} }}\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }\varepsilon _{0}\ell }{N_{\mathrm {t} }(\ell +1)}}\right)^{\ell }\left({\frac {2\ell +1}{\ell +1}}\right)^{\ell +1}{\frac {{V}^{\ell +1}}{{L}^{2\ell +1}}}}$$${\displaystyle q}$${\displaystyle \ell =k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {c} }/k_{\mathrm {B} }T}$${\displaystyle k_{\mathrm {B} }T}$${\displaystyle N_{\mathrm {eff} }}$${\displaystyle E_{\mathrm {C} }}$${\displaystyle E_{\mathrm {V} }}$${\displaystyle N_{\mathrm {t} }}$

非常に小さなバイアスが単一キャリアデバイスに印加された場合、電流は次のように表される: ^{[11] [12] [13]} $${\displaystyle J=4{\pi }^{2}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{q}}\mu \varepsilon {\frac {V}{L^{3}}}.}$$

低電圧領域での電流を記述する式は、モット・ガーニーの法則と同じ厚さのスケーリングに従いますが、印加電圧とともに直線的に増加することに注意してください。 ${\displaystyle L^{-3}}$

半導体に非常に大きな電圧が印加されると、電流は飽和状態に移行する可能性があります。

速度飽和領域では、この式は次の形をとる。 $${\displaystyle J=2\varepsilon v{\frac {V}{L^{2}}}}$$

モット・ガーニーの法則と、速度飽和領域における電流を記述する方程式との間のへの異なる依存性に注意してください。弾道の場合 (衝突がないと仮定)、モット・ガーニーの方程式は、より一般的なチャイルド・ラングミュアの法則の形をとります。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle V}$

電荷キャリア飽和状態では、サンプルを流れる電流は次のように表されます。 ここで、は半導体内の電荷キャリアタイプの 有効状態密度です。$${\displaystyle J=q\mu N_{\mathrm {eff} }{\frac {V}{L}}}$$${\displaystyle N_{\mathrm {eff} }}$

空間電荷はショットノイズを減らす傾向がある。^[14]ショットノイズは離散電荷のランダムな到着によって生じ、到着の統計的変動がショットノイズを生み出す。^[15]空間電荷はキャリアを減速させる電位を発生させる。例えば、他の電子の雲に近づく電子は反発力により減速する。減速するキャリアは空間電荷密度と結果として生じる電位も増加させる。さらに、空間電荷によって発生した電位は放出されるキャリアの数を減らすことができる。^[16]空間電荷が電流を制限すると、キャリアのランダムな到着が平滑化され、変動が減ることでショットノイズが減る。^[15]

• 熱電子放出
• 真空管
• グリッドリーク

• スター、AT（1958）、電気通信（第2版）、ロンドン：サー・アイザック・ピットマン＆サンズ社
• Coelho, R. (1979)、「エンジニアのための誘電体物理学」、アムステルダム: Elsevier Scientific Pub. Co.