カヴァリエリの原理

幾何学において、ボナヴェントゥラ・カヴァリエリにちなんで名付けられた不可分法の現代的な実装であるカヴァリエリの原理は次のとおりです。^[1]

• 2 次元の場合: 平面上の 2 つの領域が、その平面上の 2 本の平行線の間に含まれているとします。これらの 2 本の線に平行なすべての線が、両方の領域と等しい長さの線分で交差する場合、2 つの領域の面積は等しくなります。
• 3 次元の場合: 3 次元空間 (立体) 内の 2 つの領域が 2 つの平行な平面の間に含まれているとします。これらの 2 つの平面に平行なすべての平面が、等しい面積の断面で両方の領域と交差する場合、2 つの領域の体積は等しくなります。

今日、カヴァリエリの原理は積分学への初期のステップと見なされており、フビニの定理やレイヤーケーキ表現での一般化など、いくつかの形式で使用されていますが、カヴァリエリの原理を使用した結果は、積分によってより直接的に示すことができる場合がよくあります。別の方向では、カヴァリエリの原理は、極限を使用するが無限小を使用しない古代ギリシャの枯渇法から生まれました。

カヴァリエリの原理はもともと不可分法と呼ばれ、ルネサンス期のヨーロッパではその名前で知られていた。^[2]カヴァリエリは完全な不可分理論を展開し、著書『連続体の不可分性による幾何学の新たな展開』 （1635年）と『六つの幾何学演習』（1647年）で詳述した。^[3]カヴァリエリの研究で原理は確立されたものの、彼は出版物の中で、関連するパラドックスや宗教的論争を避けるために連続体が不可分性で構成されていることを否定し、これまで知られていなかった結果を見つけるためにこの原理を使用することはなかった。^[4]

紀元前3世紀、アルキメデスはカヴァリエリの原理に似た方法^[5]を使い、著書『力学的定理の方法』の中で円錐と円筒の体積が与えられたときに球の体積を求めることに成功した。紀元後5世紀には祖崇志とその息子祖庚之が球の体積を求める同様の方法を確立した^[2] 。しかし、どちらのアプローチも近世ヨーロッパでは知られていなかった。

カヴァリエリの不可分数からエヴァンジェリスタ・トリチェリとジョン・ウォリスの無限小数への移行は、微積分学の歴史における大きな進歩でした。不可分数は余次元1 の実体であったため、平面図形は無限の数の 1 次元の線で構成されていると考えられていました。一方、無限小数は、それが構成する図形と同じ次元の実体であったため、平面図形は無限小の幅の「平行四辺形」で構成されます。ウォリスは、等差数列の和の公式を適用して、三角形を幅 1/∞ の無限小平行四辺形に分割して三角形の面積を計算しました。

N. リードは、カヴァリエリの原理を使ってサイクロイドに囲まれた面積を求める方法を示した^{[6] 。半径}rの円は、その下の線上を時計回りに転がり、その上の線上を反時計回りに転がることができる。円上の点は、このように 2 つのサイクロイドを描く。円が特定の距離を転がったとき、時計回りに回転する角度と反時計回りに回転する角度は同じである。したがって、サイクロイドを描く 2 つの点は、同じ高さにある。したがって、それらを通る線は水平 (つまり、円が転がる 2 つの線と平行) である。その結果、円の各水平断面は、サイクロイドの 2 つの弧で囲まれた領域の対応する水平断面と同じ長さになる。カヴァリエリの原理により、円はその領域と同じ面積を持つ。

単一のサイクロイド アーチを囲む長方形を考えてみましょう。サイクロイドの定義から、幅は2π r、高さは2 rなので、面積は円の面積の 4 倍になります。この長方形をアーチと長方形が交わる中点で二等分し、片方を 180° 回転させて、もう片方の長方形を重ねることで、サイクロイド アーチの上にあるこの長方形内の面積を計算します。面積が円の 2 倍の新しい長方形は、面積が円と同じであると上で計算された 2 つのサイクロイド間の「レンズ」領域と、元の長方形のサイクロイド アーチの上の領域を形成していた 2 つの領域で構成されます。したがって、サイクロイドの単一の完全なアーチの上にある長方形で囲まれた領域の面積は円の面積に等しく、アーチで囲まれた面積は円の面積の 3 倍になります。

円錐の体積は、直径と高さが同じ円柱の3分の1であることを 言葉なしで証明する 1. 円錐と円柱の半径はr、高さはhです。 2. 高さをh' = r √ πにスケーリングすると、体積比は維持されます。 3. 薄くスライスして切ります。 4. カヴァリエリの原理を使用して、各スライスを同じ面積の正方形に再形成します。 5. ピラミッドは2回複製されます。 6. これらを立方体に組み合わせると、体積比は 1:3 になります。

円錐（円形の底）を含む底の形状に関係なく、あらゆるピラミッドの体積は（1/3）×底辺×高さであるという事実は、それが1つのケースで真であることさえわかっていれば、カヴァリエリの原理によって証明できます。まず、三角柱の内部を等しい体積の3つのピラミッド要素に分割することによって、1つのケースでそれを証明できます。カヴァリエリの原理によって、これら3つの体積が等しいことを示すことができます。

実際、円錐やピラミッドの体積を計算するには、カヴァリエリの原理や同様の微小な議論が必要です。これは本質的にヒルベルトの第三問題の内容です。多面体のピラミッドや円錐は標準的な形状に切断して再配置することはできず、代わりに無限の（微小な）手段で比較する必要があります。古代ギリシャ人は、これらの体積を計算するために、アルキメデスの機械的議論や枯渇法などのさまざまな先駆的な技術を使用していました。

半径、高さの円柱を考えます。この円柱は、頂点が円柱の底の中心にあり、底辺が円柱の上底である放物面を囲んでいます。また、頂点と底辺が反転しているが 寸法は同じである放物面 も考えます。${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$
${\displaystyle y=hh\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}$

あらゆる高さに対して、反転放物面の円盤状の断面積は、内接放物面の 外側の円筒部分のリング状の断面積に等しくなります。${\displaystyle 0\leq y\leq h}$${\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}$${\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}$

したがって、反転放物面の体積は、内接放物面の外側の円筒部分の体積に等しくなります。言い換えると、放物面の体積は、外接円筒の体積の半分です。 ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}$

円錐の体積がであることが分かっている場合、カヴァリエリの原理を使用して、球の体積が（ は半径） であるという事実を導くことができます。${\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}$${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$${\displaystyle r}$

それは次のように行われます。半径 の球と、半径および高さの円柱を考えます。円柱内には円錐があり、その頂点は円柱の一方の底の中心にあり、底は円柱のもう一方の底です。ピタゴラスの定理により、「赤道」より単位上方にある平面は、半径および面積の円で球と交差します。円柱の円錐の外側にある部分と平面の交差面積も です。ご覧のように、任意の高さにある水平面の球との交差によって定義される円の面積は、その平面と円柱の円錐の「外側」にある部分との交差面積に等しくなります。したがって、カバリエリの原理を適用すると、半球の体積は円柱の円錐の「外側」にある部分の体積に等しいと言えます。前述の円錐の体積は円柱の体積であるため、円錐の外側の体積は円柱の体積です。したがって、球の上半分の体積は円筒の体積と同じである。円筒の体積は ${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle y}$${\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$${\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}$${\displaystyle y}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle {\frac {2}{3}}}$${\textstyle {\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle {\text{底辺}}\times {\text{高さ}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}$

（「底辺」の単位は面積、「高さ」の単位は距離です。面積×距離=体積。）

したがって、上側の半球の体積は であり、球全体の体積は です。 ${\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}$${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

ナプキンリング問題と呼ばれる問題では、カヴァリエリの原理によって、残ったバンドの高さが である球の中心をまっすぐに貫通する穴を開けた場合、残った材料の体積は驚くべきことに球の大きさに依存しないことが示されています。残ったリングの断面は平面環状体で、その面積は 2 つの円の面積の差です。ピタゴラスの定理により、2 つの円のうちの 1 つの面積は で、 は球の半径、 は赤道面から切断面までの距離であり、もう 1 つの円の面積は です。これらを引くと がキャンセルされるため、最終的な答えは に依存しません。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle \pi \times (r^{2}-y^{2})}$${\displaystyle r}$${\displaystyle y}$${\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}$${\displaystyle r^{2}}$${\displaystyle r}$

• フビニの定理(カヴァリエリの原理はフビニの定理の特殊なケースです)

• Weisstein, Eric W.「Cavalieri の原理」。MathWorld。
• （ドイツ語で）プリンツィプ・フォン・カヴァリエリ
• カヴァリエリ統合