枢機卿の割り当て

集合論では、基数の概念は、理論自体で基数をオブジェクトとして実際に定義することなく、大幅に発展させることができる（これは実際にフレーゲの見解である。フレーゲ基数は、等数性によって、基本的に集合の宇宙全体における同値類である）。この概念は、関数と一対一の概念（単射性と全射性）の観点から等数性を定義することによって発展する。これにより、準順序関係 が得られる。

${\displaystyle A\leq _{c}B\quad \iff \quad (\exists f)(f:A\to B\ \mathrm {is\ injective} )}$

宇宙全体の大きさに対する割合です。反対称性が必ずしも成り立つとは限らないため、これは真の半順序ではありません。と の両方がある場合、カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理により、すなわちAとBは同数ですが、文字通り等しい必要はありません (同型 を参照)。との少なくとも 1 つが成り立つことは、選択公理と同等であることがわかります。 ${\displaystyle A\leq _{c}B}$${\displaystyle B\leq _{c}A}$${\displaystyle A=_{c}B}$${\displaystyle A\leq _{c}B}$${\displaystyle B\leq _{c}A}$

それでも、基数とその算術に関する興味深い結果のほとんどは、単に = _cで表現できます。

基数割り当ての目標は、すべての集合Aに、 Aの基数にのみ依存する特定の一意の集合を割り当てることです。これは、カントールの基数に関する当初の構想と一致しています。つまり、集合の要素を標準的な「単位」に抽象化し、これらの単位を別の集合に集めて、この集合の唯一の特別な点はサイズだけになるようにします。これらは関係 によって完全に順序付けられ、 = _{c は}真の等式になります。ただし、 YN モスコバキスが言うように、これは主に数学的な優雅さの練習であり、「添え字アレルギー」でもない限り、あまり得るものはありません。ただし、集合論の さまざまなモデルには、「実数」基数のさまざまな価値ある応用があります。${\displaystyle \leq _{c}}$

現代の集合論では、通常、順序数の理論と選択公理および置換公理の全力を使用するフォン ノイマン基数割り当てを使用します。適切な基数演算とすべての集合に対する割り当てが必要な場合は、基数割り当てに完全な選択公理が必要です。

正式には、選択公理を仮定すると、集合Xの濃度は、 Xとαの間に一対一が存在する最小の順序数αです。この定義は、フォン・ノイマンの濃度割り当てとして知られています。選択公理を仮定しない場合は、別の方法が必要です。集合Xの濃度の最も古い定義(カントールでは暗黙的、フレーゲとプリンキピア・マテマティカでは明示的) は、 Xと同数であるすべての集合の集合というものです。これは、集合としては大きすぎるため、 ZFCまたは公理的集合論の他の関連システムでは機能しませんが、型理論およびNew Foundationsと関連システムでは機能します。ただし、このクラスから、ランクが最小のXと同数であるものに制限すると、機能します (これはDana Scottによるトリックです。任意のランクを持つオブジェクトのコレクションが集合であるため機能します。Scottのトリックを参照してください)。

• モスコバキス、ヤニス・N.集合論に関するノートニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、1994年。