誘導特性に関するブラウアーの定理

ブラウアーの誘導指標に関する定理は、しばしばブラウアーの帰納定理として知られ、リチャード・ブラウアーにちなんで名付けられ、有限群の表現論における指標理論として知られる数学の分野における基本的な結果である。^[要出典]

ブラウアーの帰納定理の前身はアルティンの帰納定理であり、これは、| G | とGの自明な指標の積は、それぞれがGの巡回部分群の自明な指標から誘導される指標の整数の組み合わせである、と述べている。ブラウアーの定理は因子 | G | を除去するが、使用される部分群の集合を拡張するという代償を払う。ブラウアーの定理の証明が登場してから数年後、JA グリーンは(1955 年に)、そのような帰納定理 (線形指標から誘導される指標の整数の組み合わせ) は、ブラウアーの基本部分群よりも小さい部分群の集合では証明できないことを示した。^{[出典が必要]}

アルティンの帰納定理とブラウアーの帰納定理の間のもう 1 つの結果は、これもブラウアーによるもので、ブラウアーの定理またはブラウアーの補題としても知られていますが、 Gの正規表現は次のように書けるという事実です。ここで、 は正の有理数であり、 はGの巡回部分群の指標から誘導されます。アルティンの定理では指標は巡回群の自明な指標から誘導されますが、ここでは指標は任意の指標から誘導されます (アルティンのL関数への応用では、群が巡回であることが重要であり、したがって、対応するL関数が解析的であることを前提として、すべての指標は線型です)。^[1]${\displaystyle 1+\sum \lambda _{i}\rho _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \rho _{i}}$

G を有限群とし、Char( G ) をGの複素数値類関数の環の部分環とし、この環は既約指標の整数結合からなるものとする。 Char( G ) はGの指標環として知られ、その要素は仮想指標（あるいは一般指標、あるいは差分指標と呼ばれることもある）として知られている。 Gの指標の積が再びGの指標となることから、これは環である。その乗算は類関数の要素ごとの積で与えられる。^[要出典]

ブラウアーの誘導定理は、指標環が（アーベル群として） 形式の誘導指標によって生成できることを示している。ここで、H はGの部分群上を範囲とし、λ はHの線型指標（次数 1）上を範囲とする。^{[出典が必要]}${\displaystyle \lambda _{H}^{G}}$

実際、ブラウアーは、部分群H が非常に限られた集合から選択できることを示しました。これは現在ブラウアー基本部分群と呼ばれています。これらは巡回群と、位数が素数のべき乗である群の直積です。^[要出典]

Brauer の帰納定理の証明は、Char( G ) の環構造を利用します (ほとんどの証明では、既約指標の - 組み合わせで構成されるわずかに大きい環 Char*(G) も使用しています。ここで、 ω は原始複素数 | G | の 1 乗根です)。Brauer 基本部分群の線型指標から誘導される指標の整数組み合わせの集合は、Char( G ) のイデアルI ( G ) であるため、証明は、自明な指標がI ( G ) にあることを示すことに帰着します。Brauer とJohn Tateによる証明から始まる定理のいくつかの証明では、一度に 1 つの素数pに注意を集中し、自明な指標と (要素ごとに) p の十分に高いべき乗 (の整数倍) だけ異なる I *( G ) の整数値要素を構成することにより、自明な指標が Char*( G )の同様に定義されたイデアルI *( G ) にあることを示しています。 | G |のすべての素因数に対してこれが達成されると、合同と代数的整数の操作により、再びI *( G ) が Ch*( G )のイデアルであるという事実を利用して、自明な特徴がI ( G ) に配置されます。ここでの補足的な結果は、値クラス関数がイデアルI *( G ) に含まれるのは、その値がすべて ( 内) | G | で割り切れる場合であるということです。^{[引用が必要]}${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

ブラウアーの帰納定理は 1946 年に証明され、現在では多くの代替証明があります。1986 年に、ビクター・スネイスは根本的に異なるアプローチ、本質的に位相的なアプローチ (レフシェッツの不動点定理の応用) で証明しました。ブラウアーの定理の自然で明示的な形式を見つけるという問題については、ロバート・ボルトエによる最近の関連研究があります。

フロベニウスの相互性を用いると、ブラウアーの帰納定理から、彼の指標の基本的な特徴付けが容易に導かれる。これは、 Gの複素数値類関数が仮想指標となる場合と、Gの各ブラウアー基本部分群へのその制限が仮想指標となる場合に限る、ということを主張するものである。この結果は、仮想指標 θ が既約指標となる場合と、θ(1) > 0かつ(ここで は複素数値類関数の環上の通常の内積) に限るという事実と合わせて、関連する表現を明示的に構築することなく既約指標を構築する手段を与える。 ${\displaystyle \langle \theta ,\theta \rangle =1}$${\displaystyle \langle ,\rangle }$

Brauer の帰納定理の最初の動機は、Artin L 関数への応用でした。これは、それらがDirichlet L 関数、またはより一般的なHecke L 関数から構築されることを示しています。その応用で非常に重要なのは、Gの各指標が、部分群の線型指標から誘導される指標の非負の整数の組み合わせであるかどうかです。一般に、これは当てはまりません。実際、Taketa の定理により、Gのすべての指標がそのように表現できる場合、G は可解な群でなければなりません (ただし、可解だけではそのような表現が保証されません。たとえば、可解群SL(2,3)には、部分群の線型指標から誘導される指標の非負の整数の組み合わせとして表現できない、次数 2 の既約な複素指標があります)。ブラウアーの帰納定理の証明の要素は、G が有限冪零群である場合、 Gのすべての複素既約特性は、ある部分群の線型特性から誘導されるという点です。

• アイザックス、IM（1994）[1976]。有限群のキャラクター理論。ドーバー。ISBN 0-486-68014-2.ZBL0849.20004  .​1976 年に Academic Press が発行したオリジナルの修正版 。Zbl 0337.20005

• Snaith, VP (1994)。明示的ブラウアー帰納法：代数と数論への応用。ケンブリッジ高等数学研究。第40巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46015-8.ZBL0991.20005  .​