ボーズ・メスナー代数

数学において、ボーズ・メスナー代数とは、結合スキームと呼ばれる組み合わせ構造から生じる特別な行列の集合であり、それらの行列を結合（積を形成）するための通常の規則の集合とともに、結合代数、より正確にはユニタリ可換代数を形成する。これらの規則には以下のようなものがある。

• 積の結果も行列の集合内に含まれます。
• セットには単位行列があり、
• 積をとることは交換法則が成り立つ。

ボーズ・メスナー代数は、物理学ではスピンモデルに、統計学では実験計画法に応用されている。これらはRCボーズとデール・マーシュ・メスナーにちなんで名付けられた。^{[ 1 ]}

X をv個の要素からなる集合とする。Xの 2 個の要素からなる部分集合を、 n 個の空でない部分集合R ₁ , ..., R _nに分割する。

• 与えられた${\displaystyle x\in X}$、その数${\displaystyle y\in X}$そのため${\displaystyle \{x,y\}\in R_{i}}$i のみに依存し（xには依存しない）、この数値は v _iで表され、
• 与えられた${\displaystyle x,y\in X}$と${\displaystyle \{x,y\}\in R_{k}}$、その数${\displaystyle z\in X}$そのため${\displaystyle \{x,z\}\in R_{i}}$そして${\displaystyle \{z,y\}\in R_{j}}$i、j、kのみに依存し（xとyには依存しない）、この数値は次のように表される。${\displaystyle p_{ij}^{k}}$。

この構造は、Xの繰り返し要素のすべてのペアを追加し、それらを部分集合R ₀にまとめることによって強化されます。この強化により、パラメータi、j、k はゼロの値を取ることができ、x、y、zの一部が等しくなることができます。このような強化された分割を持つ集合は、アソシエーション スキームと呼ばれます。^{[ 2 ]}

対称的な関連付けスキームとは、各${\displaystyle R_{i}}$これは対称関係です。つまり、

• ( x , y ) ∈ R _iならば、( y , x ) ∈ R _iである。（あるいは同等に、R _i ^T = R _{i で}ある。）

結合スキームは、以下の条件を満たす場合に可換である。${\displaystyle p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}}$すべての人々のために${\displaystyle i}$、${\displaystyle j}$そして${\displaystyle k}$これらの2つの性質は密接に関連しており、すべての対称的な結合スキームは可換である。

文献で「アソシエーション スキーム」という用語に出会った場合、曖昧さがあることに留意することが重要です。一部の著者はこれを「対称アソシエーション スキーム」や「可換アソシエーション スキーム」と同義語として使用しているためです。したがって、R _i ^T = R _iまたは${\displaystyle p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}}$混乱を避けるため、これは公理として扱われる。本稿の残りの部分では、結合スキームが対称であると仮定する。これは、結合スキームが可換であることを意味する。

関連付けスキームは、完全グラフ（頂点集合Xを持つ）のエッジをn個のクラス（多くの場合、色クラス）に分割したものと考えることができる。この表現では、各頂点にループがあり、すべてのループに同じ0番目の色が割り当てられる。

関連付けスキームは代数的に表現することもできます。次のように定義される行列D _iを考えてみましょう。

${\displaystyle (D_{i})_{x,y}={\begin{cases}1,&{\text{if }}\left(x,y\right)\in R_{i},\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}$

させて${\displaystyle {\mathcal {A}}}$すべての行列からなるベクトル空間とする${\displaystyle \sideset {}{_{i=0}^{n}}\sum a_{i}D_{i}}$、 と${\displaystyle a_{i}}$複雑。^{[ 3 ] [ 4 ]}

協会制度の定義は、${\displaystyle D_{i}}$は${\displaystyle v\times v}$（0,1）行列

1. ${\displaystyle D_{i}}$対称です。
2. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}D_{i}=J}$（すべて1の行列）
3. ${\displaystyle D_{0}=I,}$
4. ${\displaystyle D_{i}D_{j}=\sum _{k=0}^{n}p_{ij}^{k}D_{k}=D_{j}D_{i},\qquad i,j=0,\ldots ,n.}$

4. の左辺の( x , y ) 番目の要素は、グラフ内でxとyを結ぶ長さ 2 の 2 色のパス (「色」 iとjを使用) の数です。${\displaystyle D_{i}}$含む${\displaystyle v_{i}}$1秒:

${\displaystyle D_{i}J=JD_{i}=v_{i}J.\qquad (2)}$

1.より、これらの行列は対称行列である。2.より、${\displaystyle D_{0},\ldots ,D_{n}}$は線形独立であり、次元は${\displaystyle {\mathcal {A}}}$は${\displaystyle n+1}$4.から、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$乗法に関して閉じており、乗法は常に結合法則を満たす。この結合可換代数${\displaystyle {\mathcal {A}}}$これは、結合スキームのボーズ・メスナー代数と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$対称行列であり、互いに可換であるため、同時に対角化することができます。これは、行列が存在することを意味します。${\displaystyle S}$それぞれに${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$対角行列が存在する$\displaystyle \Lambda _{A}}$と${\displaystyle S^{-1}AS=\Lambda _{A}}$これはつまり${\displaystyle {\mathcal {A}}}$半単純であり、原始冪等基底が一意である。${\displaystyle J_{0},\ldots ,J_{n}}$これらは、以下の条件を満たす複素数 n × n行列です。

${\displaystyle J_{i}^{2}=J_{i},i=0,\ldots ,n,\qquad (3)}$

${\displaystyle J_{i}J_{k}=0,i\neq k,\qquad (4)}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}J_{i}=I.\qquad (5)}$

ボーズ・メスナー代数には、隣接行列からなる基底と、${\displaystyle D_{i}}$、そして、既約冪等行列からなる基底${\displaystyle J_{k}}$定義により、次のような明確に定義された複素数が存在する。

${\displaystyle D_{i}=\sum _{k=0}^{n}p_{i}(k)J_{k},\qquad (6)}$

そして

${\displaystyle |X|J_{k}=\sum _{i=0}^{n}q_{k}\left(i\right)D_{i}.\qquad (7)}$

p値${\displaystyle p_{i}(k)}$、そしてq数${\displaystyle q_{k}(i)}$は理論において重要な役割を果たします。^{[ 5 ]}それらは明確に定義された直交関係を満たします。p 数は隣接行列の固有値です。${\displaystyle D_{i}}$。

の固有値​${\displaystyle p_{i}(k)}$そして${\displaystyle q_{k}(i)}$直交条件を満たす：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k)=vv_{i}\delta _{i\ell },\quad (8)}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mu _{i}q_{k}(i)q_{\ell }(i)=v\mu _{k}\delta _{k\ell }.\quad (9)}$

また

${\displaystyle \mu _{j}p_{i}(j)=v_{i}q_{j}(i),\quad i,j=0,\ldots ,n.\quad (10)}$

行列表記では、これらは

${\displaystyle P^{T}\Delta _{\mu }P=v\Delta _{v},\quad (11)}$

${\displaystyle Q^{T}\Delta _{v}Q=v\Delta _{\mu },\quad (12)}$

どこ${\displaystyle \Delta _{v}=\オペレーター名 {diag} \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{n}\},\qquad \Delta _{\mu }=\オペレーター名 {diag} \{\mu _{0},\mu _{1},\ldots ,\mu _{n}\}。}$

の固有値​${\displaystyle D_{i}D_{\ell }}$は${\displaystyle p_{i}(k)p_{\ell }(k)}$多重度${\displaystyle \mu _{k}}$これは、

${\displaystyle vv_{i}\delta _{i\ell }=\operatorname {trace} D_{i}D_{\ell }=\sum _{k=0}^{n}\mu _{i}p_{i}(k)p_{\ell }(k),\quad (13)}$

これは方程式を証明する${\displaystyle \left(8\right)}$および方程式${\displaystyle \left(11\right)}$、

${\displaystyle Q=vP^{-1}=\Delta _{v}^{-1}P^{T}\Delta _{\mu },\quad (14)}$

これにより方程式が得られます${\displaystyle (9)}$、${\displaystyle (10)}$そして${\displaystyle (12)}$。${\displaystyle \Box }$

結合スキームの拡張と有限体の拡張の間には類似性がある。我々が最も関心を持っているのは、拡張スキームが定義される場合である。${\displaystyle n}$のデカルト冪${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$集合の$\displaystyle {\mathcal {F}}}$基本的な関連付けスキームに基づいて${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)}$が定義される。第１の関連付けスキームが定義される。${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$と呼ばれる${\displaystyle n}$クロネッカーのべき乗$\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}}$の${\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)}$次に、同じ集合上で拡張が定義されます。${\displaystyle X={\mathcal {F}}^{n}}$クラスの集まりによって$\displaystyle \left({\mathcal {F}},K\right)_{\otimes }^{n}}$クロネッカーのべき乗は多項式環に対応する。${\displaystyle F\left[X\right]}$最初にフィールド上で定義されました${\displaystyle \mathbb {F} }$一方、拡張スキームは商として得られる拡張体に対応します。このような拡張スキームの例として、ハミングスキームがあります。

連想スキームはマージできますが、マージすると非対称連想スキームになります。一方、通常のコードはすべて対称アーベルスキームのサブグループです。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• 協会制度

• ベイリー、ローズマリー A. (2004)、アソシエーション スキーム: 設計実験、代数、組み合わせ論、ケンブリッジ高等数学研究、第 84 巻、ケンブリッジ大学出版局、 387 ページ、ISBN 978-0-521-82446-0MR 2047311​ 
• ばん内栄一、伊藤達郎（1984）『代数的組み合わせ論 I：アソシエーションスキーム』、メンローパーク、カリフォルニア州：ベンジャミン/カミングス出版、pp.  xxiv+425、ISBN 0-8053-0490-8MR 0882540​ 
• ばん内悦子 (2001)「4重みスピンモデルに関連するボーズ・メスナー代数」、グラフと組み合わせ論、17 (4): 589–598、doi : 10.1007/PL00007251、S2CID 41255028 
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• キャメロン、P.  J.、ヴァン・リント、J.  H. (1991)『デザイン、グラフ、コードとそのリンク』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-42385-6
• Camion, P. (1998)、「コードと連想スキーム：符号化に関連する連想スキームの基本特性」、Pless, V.  S. ; Huffman, W.  C. (編) 『符号化理論ハンドブック』、オランダ：Elsevier
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• 野村和也（1997）「スピンモデルに関連する代数」、代数組合せ論ジャーナル、6（1）：53–58、doi：10.1023/A：1008644201287