ベルトラン・エッジワースモデル

ミクロ経済学において、ベルトラン＝エッジワースの価格設定寡占モデルは、企業が同質な製品（消費者が最も安い販売者からしか購入しない財）を販売するために競争するものの、供給量に制約がある場合に何が起こるかを考察する。企業が選択した価格で全ての需要を満たすと仮定する標準的なベルトラン競争モデルとは異なり、ベルトラン＝エッジワースモデルでは、各企業には生産能力の制約、つまり価格に関係なく販売できる固定の最大生産量があると仮定する。この制約は、（エッジワースの定式化のように）物理的なものである場合もあれば、価格やその他の条件に依存する場合もある。

このモデルの重要な結論の一つは、たとえ企業が2社しか存在しない場合でも、純粋戦略に基づく価格均衡は存在しない可能性があるということである。なぜなら、企業は生産能力の制約に達するまで、競合他社の価格を下回る価格設定を行うインセンティブを持つからである。その結果、このモデルは価格サイクルや、企業が価格をランダムに決定する混合戦略均衡の出現につながる可能性がある。

ジョゼフ・ルイ・フランソワ・ベルトラン（1822年～1900年）は、寡占市場におけるベルトラン競争モデルを開発した。このアプローチは、同質な製品を一定の限界費用で生産する企業が少なくとも2社存在するという仮定に基づいている（限界費用は一定の正の値、またはクールノーのようにゼロの場合もある）。消費者は最も安い売り手から購入する。このモデルのベルトラン・ナッシュ均衡は、すべての企業（または少なくとも2社）が価格を限界費用に等しく設定することである。議論は単純である。ある企業が限界費用より高い価格を設定した場合、別の企業がそれをわずかに下回る価格設定をすることができる（これはしばしばイプシロン・アンダーカットと呼ばれ、イプシロンは任意に小さい値を表す）。したがって均衡はゼロになる（これはベルトランのパラドックスと呼ばれることもある）。

ベルトランのアプローチでは、企業はすべての需要を満たす意思と能力があると仮定しています。つまり、企業が生産または販売できる量に制限はありません。 フランシス・イシドロ・エッジワースは、企業が販売できる量に制限がある場合（生産能力の制約）を検討しました。彼は、企業が販売できる量に固定の制限がある場合、純粋戦略ナッシュ均衡が存在しない可能性があることを示しました（これはエッジワースのパラドックスと呼ばれることもあります）。^{[ 1 ]}

マーティン・シュビックは、企業が設定した価格で利益最大化生産量までしか供給しないことを可能にするベルトラン・エッジワース・モデルを開発した（利益最大化では、限界費用が価格に等しいときにこれが起こる）。^{[ 2 ]}彼は、限界費用が生産量に対して増加する厳密に凸型の費用の場合を検討した。シュビックは、ナッシュ均衡が存在する場合、それは完全競争価格（需要が供給に等しく、すべての企業が限界費用に等しい価格を設定する場合）でなければならないことを示した。しかし、これは競争価格において市場需要が無限に弾力的（水平）である場合にのみ起こり得る。一般に、エッジワースのパラドックスと同様に、純粋戦略のナッシュ均衡は存在しない。ヒュー・ディクソンは、一般に凸型の費用がある場合には混合戦略のナッシュ均衡が存在することを示した。 ^{[ 3 ]}ディクソンの証明は、パルタ・ダスグプタとエリック・マスクンの存在定理を使用した。^{[ 4 ]}ディクソンの（弱）凸コストの仮定の下では、限界コストは減少しない。これは、限界コストが一定範囲の生産量に対して一定であるコスト関数、限界コストが滑らかに増加するコスト関数、あるいは総コストに折れ曲がりがあり限界コストが不連続に上昇するコスト関数と一致する。

フランシス・イシドロ・エッジワースとマーティン・シュビックが指摘した純粋戦略均衡の非存在に対しては、いくつかの反論がなされてきた。ヒュー・ディクソンは混合戦略均衡の存在を実証したが、均衡が実際にどのような形をしているかを特徴づけるのは容易ではないことが分かっている。しかし、アレンとヘルウィッグ^{[ 5 ]}は、多数の企業が存在する大規模市場では、平均価格が競争価格に近づく傾向があることを示すことができた。

ベルトラン＝エッジワースモデルの文脈では、非純粋戦略は妥当ではないと主張されてきた。代替的なアプローチとしては、以下のようなものがある。

• 企業は各価格において販売する数量を選択します。これは価格と数量が選択されるゲームです。アレンとヘルウィッグ^{[ 6 ]}、そしてより一般的なケースではヒュー・ディクソン^{[ 7 ]}によって示されているように、完全競争価格は唯一の純粋戦略均衡です。
• ^{企業は、Krishnendu Ghosh Dastidar [ 8 ]}が提案したように、設定した価格で全ての需要を満たすか、顧客を拒否するコストを支払う必要があります。^{[ 9 ]}これは純粋戦略ナッシュ均衡の存在を保証する一方で、複数の均衡を生み出すという代償を伴います。しかし、Huw Dixonが示したように、顧客を拒否するコストが十分に小さい場合、存在する純粋戦略均衡は競争均衡に近いものになります。
• ジャン＝パスカル・ベナシーが提唱した製品差別化を導入する。 ^{[ 10 ]}これは独占的競争とベルトラン＝エッジワース・モデルの統合に近いが、ベナシーは企業の生産物に対する需要の弾力性が十分に高ければ、存在する純粋戦略均衡は競争の結果に近いことを示した。
• Huw Dixonが探求した「整数価格設定」^{[ 11 ]}では、価格を連続変数として扱うのではなく、離散変数として扱います。これは、企業が互いに任意に小さな量だけ価格を下げることができないことを意味し、純粋戦略均衡が存在しない理由の 1 つです。これにより、複数の純粋戦略均衡が生じる可能性があり、そのうちのいくつかは競争均衡価格から遠く離れている可能性があります。最近では、Prabal Roy Chowdhury ^{[ 12 ]}が、離散価格設定の概念と、企業が価格と、その価格で販売したい数量を選択するという考え方を、Allen–Hellwig のように組み合わせました。
• 純粋戦略ゲームにおけるイプシロン均衡。 ^{[ 13 ]}イプシロン均衡では、各企業は最適価格からイプシロンの範囲内にある。イプシロンが小さい場合、これはメニューコストや限定合理性などにより、妥当な均衡と見なされる可能性がある。${\displaystyle \varepsilon >0}$十分な数の企業が存在する場合、イプシロン均衡が存在する（この結果は、残余需要、つまり低価格企業の売上を前提とした高価格企業が直面する需要をどのようにモデル化するかによって異なる）。
• 近視眼的安定集合。^{[ 14 ]}このゲームの近視眼的安定集合は、より良い応答ダイナミクスに基づく純粋戦略の解を提供する。純粋戦略ナッシュ均衡の集合が空でない場合（例えば、生産能力が十分に大きいか小さい場合）、それは近視眼的安定集合と一致する。中間的な生産能力レベルでは、ナッシュ均衡は混合戦略を含む。これらの場合、混合戦略均衡のサポート内のすべての価格が近視眼的安定集合に含まれる。したがって、近視眼的安定集合は、寡占市場における価格設定を理解するための代替的かつ統一的な基盤を提供する。

• エッジワースと現代の寡占、ザビエル・ヴィヴェスの理論
• 独占の純粋理論、フランシス・エッジワース