ベリー接続と曲率

物理学において、ベリー接続とベリー曲率は、それぞれベリー位相または幾何学的位相に関連する局所ゲージポテンシャルとゲージ場として見ることができる関連概念です。この概念は、 S. Pancharatnam ^[1]によって幾何学的位相として最初に導入され、その後、マイケル・ベリーによって1984年に発表された論文^[2]で詳細に説明され、普及しました。この論文では、幾何学的位相が古典物理学と量子物理学のいくつかの分野で強力な統一概念を提供することが強調されています。

量子力学では、ベリー位相は周期的断熱発展で生じる。量子断熱定理は、ハミルトニアンが 時間とともに変化する（ベクトル）パラメータに依存するシステムに適用できる。' 番目の固有値が経路に沿ったあらゆる場所で非退化のままであり、時間tによる変化が十分に遅い場合、最初に正規化固有状態にあったシステムは、プロセス全体を通じて、位相までハミルトニアン の瞬間固有状態に留まる。位相に関しては、時間tにおける状態は次のように記述できる^[3]。 ここで、2 番目の指数項は「動的位相係数」である。最初の指数項は幾何学的項であり、 はベリー位相である。状態が時間依存シュレーディンガー方程式を満たすという要件から、 が示され、 ベリー位相はパラメータ空間内の経路のみに依存し、経路が横断される速度には依存しないことがわかる。 ${\displaystyle H(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle |n(\mathbf {R} (0))\rangle }$${\displaystyle |n(\mathbf {R} (t))\rangle }$${\displaystyle H(\mathbf {R} (t))}$ $${\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =e^{i\gamma _{n}(t)}\,e^{-{i \over \hbar }\int _{0}^ {t}dt'\varepsilon _{n}(\mathbf {R} (t'))}\,|n(\mathbf {R} (t))\rangle ,}$$${\displaystyle \gamma_{n}}$${\displaystyle |\Psi_{n}(t)\rangle }$$${\displaystyle \gamma _{n}(t)=i\int _{0}^{t}dt'\,\langle n(\mathbf {R} (t'))|{d \over dt'} |n(\mathbf {R} (t'))\rangle =i\int _{\mathbf {R} (0)}^{\mathbf {R} (t)}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf {R} )\rangle ,}$$

閉経路の周りの循環的発展でとなる場合、閉経路ベリー位相は となる 。電子が閉経路に沿って移動する物理系の例としては、サイクロトロン運動が挙げられる（詳細はベリー位相 のページで説明されている）。正しい量子化条件を得るには、ベリー位相を考慮する必要がある。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathbf {R} (T)=\mathbf {R} (0)}$$${\displaystyle \gamma _{n}=i\oint _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \,\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} } |n(\mathbf {R} )\rangle .}$$

ゲージ変換は、 依存の位相係数だけ元の状態と異なる新しい状態セットに実行できます 。これにより、開経路のベリー位相が に修正されます。閉経路の場合、連続性には(整数)が必要であり、任意のゲージ変換に対して を 法として が不変であることが示されます。$${\displaystyle |{\tilde {n}}(\mathbf {R} )\rangle =e^{-i\beta (\mathbf {R} )}|n(\mathbf {R} )\rangle }$$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{n}(t)=\gamma _{n}(t)+\beta (t)-\beta (0)}$${\displaystyle \beta (T)-\beta (0)=2\pi m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma_{n}}$${\displaystyle 2\pi }$

上記で定義した閉経路ベリー位相は、 と表現できます 。 ここで、 はベリー接続 (またはベリーポテンシャル) として知られるベクトル値関数です。ベリー接続はゲージに依存し、 のように変換されます 。したがって、局所ベリー接続は物理的に観測できません。ただし、閉経路に沿ったその積分であるベリー位相 は、 の整数倍までゲージ不変です。したがって、は絶対的にゲージ不変であり、物理的観測量と関連している可能性があります。 $${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {C}}d\mathbf {R} \cdot {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$$$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )=i\langle n(\mathbf {R} )|\nabla _{\mathbf {R} }|n(\mathbf { R} )\rangle }$$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}_{n}(\mathbf {R} )={\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )+\nabla _{\mathbf {R} \,}\beta (\mathbf {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} )}$${\displaystyle \gamma _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle e^{i\gamma _{n}}}$

ベリー曲率は、ベリー接続から導かれる 反対称2階テンソルである 。3次元パラメータ空間では、ベリー曲率は擬ベクトル形式 で表すことができる。ベリー曲率のテンソル形式と擬ベクトル形式は、レヴィ・チヴィタ反対称テンソル を介して、次のように関連付けられる。閉じた経路の周りを積分して初めて物理的になるベリー接続とは対照的に、ベリー曲率はパラメータ空間における波動関数の幾何学的性質のゲージ不変な局所的表現であり、さまざまな電子特性を理解するために不可欠な物理的要素であることが証明されている。^{[4] [5]}$${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )={\partial \over \partial R^{\mu }}{\mathcal {A}}_{n,\nu }(\mathbf {R} )-{\partial \over \partial R^{\nu }}{\mathcal {A}}_{n,\mu }(\mathbf {R} ).}$$$${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} )=\nabla _{\mathbf {R} }\times {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {R} ).}$$${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }=\epsilon _{\mu \nu \xi }\,\mathbf {\Omega } _{n,\xi }}$

面 の境界を形成する閉じた経路の場合、閉じた経路のベリー位相は、ストークスの定理を使用して次のよう に書き直すことができます 。面 が閉多様体である場合、境界項は消えますが、 を法とする境界項の不確定性は、チャーン定理に現れます。チャーン定理は、閉多様体上のベリー曲率の積分は の単位で量子化されると述べています。この数はいわゆるチャーン数であり、さまざまな量子化効果を理解するために不可欠です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$$${\displaystyle \gamma _{n}=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {\Omega } _{n}(\mathbf {R} ).}$$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$

最後に、について を使用することで、ベリー曲率は、他のすべての固有状態の総和として、次のように表すこともできます 。 n 番目のエネルギー レベルの曲率は、他のすべてのエネルギー レベルによって寄与されることに注意してください。つまり、ベリー曲率は、投影された固有状態の残差相互作用の結果として見ることができます。^[5] の各値についてすべての可能なエネルギー レベルを合計すると、ベリー曲率の局所保存則が得られます。 この式には、固有状態の微分が含まれないという利点もあり、そのため、どのようなゲージを選択しても計算できます。 ${\displaystyle \left\langle n|\partial H/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle =\left\langle \partial n/\partial \mathbf {R} |n'\right\rangle (\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})}$${\displaystyle n\neq n'}$$${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=i\sum _{n'\neq n}{\frac {1}{(\varepsilon _{n}-\varepsilon _{n'})^{2}}}{\left(\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n\right\rangle -\left\langle n\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\nu }}}\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|{\frac {\partial H}{\partial R_{\mu }}}\left|n\right\rangle \right)}.}$$${\displaystyle \sum _{n}\Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {R} )=0,}$${\displaystyle \mathbf {R} .}$

磁場中のスピン 1/2 粒子のハミルトニアンは、次のように表すことができます^[3] 。 ここで、はパウリ行列、は磁気モーメント、Bは磁場を表します。3 次元では、固有状態はエネルギーを持ち、その固有ベクトルは です 。 ここで、状態について考えます。そのベリー接続は として計算でき 、ベリー曲率は です。(または他の任意の位相、 )を乗じ て新しいゲージを選択すると、ベリー接続は および に なり、ベリー曲率は同じままです。これは、ベリー接続はゲージ依存であるのに対し、ベリー曲率はそうではないという結論と一致しています。 $${\displaystyle H=\mu \mathbf {\sigma } \cdot \mathbf {B} ,}$$${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \pm \mu B}$$${\displaystyle |u_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}\sin {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\-\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}},|u_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi }\\\sin {\theta \over 2}\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle |u_{-}\rangle }$${\textstyle {\mathcal {A}}_{\theta }=\langle u_{-}|i{\frac {1}{r}}\partial _{\theta }|u_{-}\rangle =0,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=\langle u_{-}|i{\tfrac {1}{r\sin {\theta }}}\partial _{\phi }|u_{-}\rangle ={\frac {\sin ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$${\displaystyle \ \Omega _{r}={\frac {1}{r\sin {\theta }}}[\partial _{\theta }({\mathcal {A}}_{\phi }\sin {\theta })-\partial _{\phi }{\mathcal {A}}_{\theta }]{\hat {r}}={\frac {1}{2r^{2}}}{\hat {r}}.}$${\displaystyle |u_{-}\rangle }$${\displaystyle e^{i\phi }}$${\displaystyle e^{i\alpha \phi }}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\theta }=0}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\phi }=-{\frac {\cos ^{2}{\theta \over 2}}{r\sin {\theta }}}}$

立体角あたりのベリー曲率は で与えられます。この場合、磁場空間の単位球面上の任意の経路に対応するベリー位相は、経路が囲む立体角のちょうど半分になります。したがって、球面全体にわたるベリー曲率の積分は となり、チャーン数は 1 となり、チャーンの定理と一致します。 ${\displaystyle {\overline {\Omega }}_{\theta \phi }=\Omega _{\theta \phi }/\sin \theta =1/2}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}}$${\displaystyle 2\pi }$

ベリー位相は、結晶固体の電子特性に関する現代の研究^[5]や量子ホール効果の理論^[6]において重要な役割を果たしている。 結晶ポテンシャルの周期性により、ブロッホの定理を適用することができる。ブロッホの定理によれば、ハミルトンの固有状態は の形をとり 、 はバンド指数、は逆格子空間(ブリルアンゾーン) の波動ベクトル、 はの周期関数である。並進対称性により、運動量演算子は パイエルス置換によってに置き換えることができ、波動ベクトルはパラメータ の役割を果たす。^[5] したがって、逆格子空間におけるベリー位相、接続、曲率を定義することができる。たとえば、N バンド システムでは、逆格子空間の n 番目のバンドのベリー接続は システムで、n 番目のバンドのベリー曲率はの各値に対して他の N − 1 バンドすべてで与えられます 。2D 結晶では、ベリー曲率は平面外の成分のみを持ち、擬スカラーとして動作します。これは、2D 結晶の z 方向に沿って並進対称性が破れると、平面内の並進対称性のみが存在するためです。ブロッホの定理は逆格子空間自体が閉じていることも意味するため、ブリルアン ゾーンは 3 次元で 3 次元トーラスのトポロジーを持ち、閉じたループまたは多様体上で積分するという要件は簡単に満たすことができます。このようにして、電気分極、軌道磁化、異常ホール伝導率、軌道磁気電気結合などの特性は、ベリー位相、接続、曲率で表現できます。^{[5] [7] [8]}$${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$${\displaystyle {\frac {m}{\hbar }}\partial H/\partial k_{i}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}(\mathbf {k} )=i\langle u_{n\mathbf {k} }|\nabla _{\mathbf {k} }|u_{n\mathbf {k} }\rangle .}$$${\displaystyle \Omega _{n,\mu \nu }(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \mathbf {k} .}$

• 量子段階、5年後。M . ベリー著。
• 電子構造理論におけるベリー位相と曲率 D. ヴァンダービルトによる講演。
• ベリー学、軌道磁気電気効果、およびトポロジカル絶縁体- D. ヴァンダービルトによる講演。