ベックのモナディシティ定理

数学の一分野である圏論において、ベックのモナディシティ定理は、モナド関数を特徴付ける基準を与えるもので、 1964年頃にジョナサン・モック・ベック(2003) によって導入された。これは、コモナド の双対形式で述べられることが多い。モナドを表す 古い用語である三重性から、ベックの三重性定理と呼ばれることもある。

ベックのモナディシティ定理は、関数

${\displaystyle U:C\to D}$

がモナド的であるのは、^[1]

1. U には左副関数があります。
2. U は同型写像を反映します（U ( f ) が同型写像であればf も同型写像です）。
3. C には、 U分割並列ペアのコイコライザー( C内の射の並列ペアで、U がこれをD内の分割コイコライザーを持つペアに送信するもの)があり、U はそれらのコイコライザーを保存します。

ベックの定理にはいくつかのバリエーションがあります。U に左随伴要素がある場合、以下の条件のいずれかによってUがモナドであることが保証されます。

• U は同型性を反映し、C は反射ペアの共等化子(共通の右逆を持つもの)を持ち、 U はそれらの共等化子を保存します。 (これにより、粗いモナディシティ定理が得られます。)
• UによってDの分割コイコライザー シーケンスに送信されるCのすべてのダイアグラムは、それ自体がCのコイコライザー シーケンスです。言い換えると、U はU分割コイコライザー シーケンスを作成 (保存および反映) します。

ベックの定理の別のバリエーションは、厳密にモナド的な関数を特徴付けます。つまり、比較関数がカテゴリの同値性ではなく同型である関数です。このバージョンでは、共等化子を作成する意味の定義が少し変更されています。共等化子は、同型性まで一意であるだけでなく、一意である必要があります。

ベックの定理は、層理論とスタック理論、およびアレクサンダー・グロタンディークの代数幾何学へのアプローチで役割を果たす降下理論との関係において特に重要です。代数構造の忠実に平坦な降下のほとんどのケース（たとえば、FGAや SGA1の場合）は、ベックの定理の特別な場合です。定理は、このレベルでの「降下」プロセスの正確なカテゴリカルな記述を与えます。1970年に、ファイバーカテゴリと降下データによるグロタンディークのアプローチは、（いくつかの条件下で）コモナドアプローチと同等であることが示されました（ジャン・ベナブーとジャック・ルーボーによる）。後の研究で、ピエール・ドリーニュはベックの定理をタンナキアンカテゴリ理論に適用し、基本的な展開を大幅に簡素化しました。

• 位相空間から集合への忘却関手は同型性を反映しないのでモナド的ではありません。つまり、(非コンパクトまたは非ハウスドルフ)位相空間間の連続的な一対一写像は同相写像である必要はありません。
• Negrepontis (1971, §1) は、可換C*-代数から集合への関数で、そのような代数A を単位球、つまり集合に送るものがモナド的であることを示している。Negrepontis はまた、ゲルファンド双対性、つまり、コンパクト ハウスドルフ空間の反対のカテゴリと可換 C*-代数の間のカテゴリの同値性がこれから導かれることを示しています。${\displaystyle \{a\in A,\|a\|\leq 1\}}$
• ^{Set op}から Set へのべき集合関数はモナドです。ここで、Set は集合のカテゴリです。より一般的には、ベックの定理を使用して、T ^opからT へのべき集合関数が任意のトポス T に対してモナドであることを示すことができます。これは、トポス T に有限の余極限があることを示すためにも使用できます。
• 半群から集合への忘却関手はモナド的である。この関手は任意の共等化子を保存しないため、必要かつ十分な条件を望む場合は、ベックの定理の共等化子に何らかの制限が必要であることがわかる。
• B が可換環A上の忠実平坦可換環である場合、 M をB ⊗ _A Mへ変換するA加群からB加群への関手T はコモナディックである。これはベックス定理の双対から導かれ、Bが平坦であるという条件はT が極限を保存することを意味し、 Bが忠実平坦であるという条件はT が同型性を反映することを意味する。 T上の余代数は本質的に降下データを持つB加群であることが判明しているため、 Tがコモナディックであるという事実は忠実平坦降下の主な定理と同等であり、降下を持つB加群はA加群と同等であることを意味する。^[2]

• nラボでのモナディシティ定理
• nラボでのモナド降下