バウムスラッグ・ソリタール群

数学の群論の分野において、バウムスラッグ・ソリター群は、組合せ群論や幾何群論において（反）例やテストケースとして重要な役割を果たす2生成子1関係子群の例である。それらは群の表現によって与えられる。

\left\langle a,b\ :\ ba^{m}b^{-1}=a^{n}\right\rangle .

各整数 $m$ と $n$ に対して、 Baumslag–Solitar 群は $BS(m, n)$ と表記されます。この表現の関係はBaumslag–Solitar 関係と呼ばれます。

$BS(m, n)$ の様々な群のいくつかはよく知られている。BS $(1, 1)は$ 2つの生成元上の自由アーベル群であり、 $BS(1, -1)は$ クラインの壺の基本群である。

この群は、非ホップ群の例として、ギルバート・バウムスラッグとドナルド・ソリターによって 1962 年に定義されました。この群には、残差有限群、残差有限でないホップ群、および非ホップ群が含まれます。

線形表現

定義する

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\qquad B={\begin{pmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{pmatrix}}.

$A$ と $B$ によって生成される行列群 $Gは$ $、 BS($ $m$ $,$ $n$ $)$ の準同型像であり、

a\mapsto A,\qquad b\mapsto B.

これは一般に同型ではない。例えば、 $BS(m, n)が$ 残差有限でない場合（つまり、 $| m | = 1$ 、 $| n | = 1$ 、または $| m | = | n |$ ^{[1]でない場合）、それは}アナトリー・マルツェフの定理によって残差有限であることが知られている有限生成線型群と同型にはならない。^[2]

参照

注記

^ 残差有限条件の証明については、Stephen Meskin著「Nonresidually Finite One-Relator Groups」を参照。
^ アナトリー・イワノビッチ・マルチェフ、「行列による無限群の忠実な表現について」アメリカ数学会訳 (2)、45 (1965)、pp. 1–18

参考文献

DJ コリンズ (2001) [1994]、「バウムスラッグ-ソリター群」、数学百科事典、EMS プレス
ギルバート・バウムスラッグとドナルド・ソリター「いくつかの2生成子1関係子非ホップ群」アメリカ数学会報68（1962）、199-201。MR 0142635

[1] 残差有限条件の証明については、Stephen Meskin著「Nonresidually Finite One-Relator Groups」を参照。

[2] アナトリー・イワノビッチ・マルチェフ、「行列による無限群の忠実な表現について」アメリカ数学会訳 (2)、45 (1965)、pp. 1–18