バートレットの二分定理

バートレットの二分定理は、アルバート・チャールズ・バートレットに帰せられるネットワーク解析における電気定理である。この定理は、任意の対称2ポートネットワークをラティスネットワークに変換できることを示す。^{[1]この定理は}フィルタ理論 でよく登場し、フィルタ理論では、類似するアルファベットの文字にちなんでセクションに名前を付けるという慣例に従い、ラティスネットワークはフィルタのXセクションと呼ばれることもある。

バートレットが最初に述べた定理は、ネットワークの2つの半分が位相的に対称であることを必要としました。この定理は後にウィルヘルム・カウアーによって拡張され、電気的に対称なすべてのネットワークに適用されました。つまり、ネットワークの物理的な実装は関係ありません。必要なのは、両方の半分の応答が対称であることだけです。^[2]

ラティス トポロジーフィルタはあまり一般的ではありません。その理由は、他の設計よりも 多くのコンポーネント (特にインダクタ) を必要とするためです。ラダー トポロジーの方がはるかに一般的です。ただし、本質的にバランスが取れているという特性があり、 T セクションなどの別のトポロジーのバランス バージョンでは、実際にはより多くのインダクタを使用することになる場合があります。1 つの用途は、バランス通信回線上のオールパス位相補正フィルタです。この定理は、RF 周波数での水晶フィルタの設計にも使用されます。ここで、ラダー トポロジーには望ましくない特性がいくつかありますが、一般的な設計戦略は、その単純さからラダー実装から開始することです。次に、バートレットの定理を使用して、最終的な実装へのステップとして、設計を中間段階に変換します (トランスを使用してラティス トポロジーのアンバランス バージョンを生成します)。^[3]

2 つのポートの間に対称面がある2 ポート ネットワークNから始めます。次に、対称面を N で切断して、2 つの新しい同一の 2 ポート⁠を形成します。1/2⁠ N. 2 つの同一の電圧発生器を N の 2 つのポートに接続します。対称性から、対称面を通過するどの分岐にも電流が流れないことは明らかです。このような状況で N のポートに測定されるインピーダンスは、対称面を通過するすべての分岐が開回路である場合に測定されるインピーダンスと同じになります。したがって、これは⁠の開回路インピーダンスと同じインピーダンスです。1/2⁠ N. これをインピーダンスと呼ぶことにします。 ${\displaystyle Z_{oc}}$

ここで、2 つの同一の電圧発生器がポートに接続されているが極性が逆であるネットワーク N について考えてみましょう。前のケースでは対称面の分岐を通る電流の重ね合わせがゼロでなければならないのと同様に、類推と双対性の原理を適用すると、対称面のノード間の電圧の重ね合わせもこの場合同様にゼロでなければなりません。したがって、入力インピーダンスは⁠の短絡インピーダンスと同じです。1/2⁠ N. これをインピーダンスと呼ぶことにします。 ${\displaystyle Z_{sc}}$

バートレットの二分定理によれば、ネットワークNは の直列枝と の交差枝を持つ格子ネットワークと同等である。^[4]${\displaystyle Z_{sc}}$${\displaystyle Z_{oc}}$

各ポートに同一の発電機 E が接続された、図に示す格子ネットワークについて考えてみましょう。対称性と重ね合わせから、直列ブランチには電流が流れていないことは明らかです。したがって、これらのブランチは削除して開回路のままにしておくことができ、回路の残りの部分には影響しません。これにより、電圧 2E とインピーダンス の回路ループが残り、ループ内の電流は次のようになります。 ${\displaystyle Z_{sc}}$${\displaystyle 2Z_{oc}}$

${\displaystyle I={\frac {2E}{2Z_{oc}}}}$

入力インピーダンスは、

${\displaystyle {\frac {E}{I}}=Z_{oc}}$

元の 2 ポートと同等である必要があるためです。

同様に、ジェネレータの 1 つを反転すると、同じ議論により、インピーダンスが で入力インピーダンスが のループが生成されます。 ${\displaystyle 2Z_{sc}}$

${\displaystyle {\frac {E}{I}}=Z_{sc}}$

これらのジェネレータ構成は、元の 2 ポートで とが定義された正確な方法であることを思い出すと、格子はこれら 2 つのケースで同等であることが証明されます。他のすべての入力および出力条件は、すでに証明された 2 つのケースの線形重ね合わせとして表現できることを考慮すると、すべてのケースでこれが当てはまることが証明されます。 ${\displaystyle Z_{oc}}$${\displaystyle Z_{sc}}$

バートレット変換を逆に使用することも可能です。つまり、対称格子ネットワークを他の対称トポロジーに変換することができます。上記の例は、逆に表示しても同様に表示できます。ただし、上記の例とは異なり、結果は線形受動コンポーネントで常に物理的に実現できるわけではありません。これは、逆変換によって負の値を持つコンポーネントが生成される可能性があるためです。負の量は、ネットワーク内に存在する能動コンポーネントでのみ物理的に実現できます。

バートレットの定理には、等しい入力インピーダンスと出力インピーダンスの終端間で動作する対称フィルタ ネットワークを、等しくないソース インピーダンスと負荷インピーダンスに合わせて変更できる拡張があります。これは、プロトタイプ フィルタのインピーダンス スケーリングの例です。対称ネットワークは、対称面に沿って二分されます。半分は入力インピーダンスに合わせてインピーダンス スケーリングされ、もう半分は出力インピーダンスに合わせてインピーダンス スケーリングされます。フィルタの応答形状は同じままです。これはインピーダンス整合ネットワークにはならず、ネットワーク ポートから見たインピーダンスは終端インピーダンスとは関係がありません。つまり、バートレットの定理によって設計されたネットワークは、フィルタ応答が正確に予測されている一方で、フィルタ応答に加えて一定の減衰も追加します。インピーダンス整合ネットワークでは、通常の設計基準は電力転送を最大化することです。出力応答は、入力を駆動する理論上の理想的なジェネレータの電圧に対して「同じ形状」です。理論上の理想的なジェネレータがその負荷インピーダンスを介して供給する実際の入力電圧に対して同じではありません。^{[5] [6]}

入力インピーダンスと出力インピーダンスの差による一定のゲインは次のように表されます。

${\displaystyle A={\frac {V_{2}}{E}}={\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

この値が 1 より大きくなる可能性、つまり電圧ゲインは可能ですが、電力は常に失われることに注意してください。