Ax-グロタンディークの定理

数学において、Ax–Grothendieckの定理は、James AxとAlexander Grothendieckによって独立に証明された、多項式の単射性と全射性に関する結果である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

この定理は、次のような特殊な場合としてよく示されます。${\displaystyle P}$は、​${\displaystyle n}$次元複素ベクトル空間をそれ自身に戻し、${\displaystyle P}$は全単射である。つまり、${\displaystyle P}$常に異なる引数を異なる値にマッピングし、次に${\displaystyle P}$すべてをカバーする${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$[ ^{3 ] [ 4 ]​}

この定理は、代数的に閉じた体上の任意の代数多様体に一般化される。^{[ 5 ]}

グロタンディークの定理^{[ 3 ] [ 4 ]}の証明は、有限体とその代数的閉包に対する類似の定理を証明することに基づいている。つまり、任意の体に対して${\displaystyle F}$それ自体が有限であるか、または多項式が有限体の閉包である場合${\displaystyle P}$から${\displaystyle F^{n}}$自身への単射であれば、全単射である。

もし${\displaystyle F}$有限体である場合、${\displaystyle F^{n}}$は有限です。この場合、定理は関数を多項式として表現することとは全く関係のない自明な理由で成り立ちます。有限集合からそれ自身への任意の単射は全単射です。${\displaystyle F}$は有限体の代数的閉包であり、結果はヒルベルトのヌルシュテレンザッツから導かれる。したがって、複素数に対する Ax–Grothendieck の定理は、上の反例を示すことによって証明できる。${\displaystyle \mathbb {C} }$それは、有限体の何らかの代数的拡大における反例に変換されるだろう。

この証明方法は、標数0の体における有限代数関係が、標数の大きい有限体上の代数関係に変換されるという考え方の例であるという点で注目に値する。 ^{[ 3 ]}したがって、有限体の算術を用いて、次のような命題を証明することができる。${\displaystyle \mathbb {C} }$有限体から準同型写像は存在しないが${\displaystyle \mathbb {C} }$したがって、この証明は、コンパクト性定理などのモデル理論的原理を用いて、多項式に関する基本的な命題を証明している。一般の場合の証明も同様の方法を用いる。

この定理には他にも証明がある。アルマン・ボレルは位相幾何学を用いて証明を与えた。^{[ 4 ]}${\displaystyle n=1}$そしてフィールド${\displaystyle \mathbb {C} }$続いて${\displaystyle \mathbb {C} }$は代数的に閉じており、任意の解析関数に対してという結果の特殊な場合と考えることもできます。${\displaystyle f}$の上${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle f}$は全射性を意味する${\displaystyle f}$これはピカール定理の系である。

有限型の射に関する定理を有限体へ還元する別の例は、EGA IVに見られます。そこでは、根基が${\displaystyle S}$スキームの自己準同型性${\displaystyle X}$有限型の${\displaystyle S}$は全単射であり（10.4.11）、もし${\displaystyle X/S}$有限表示であり、自己準同型が単射である場合、それは自己準同型である（17.9.6）。したがって、基底上の有限表示スキームは${\displaystyle S}$は、以下のカテゴリーのコホプフィアンオブジェクトである。${\displaystyle S}$-計画。

Ax–Grothendieckの定理は、エデンの園の定理を証明するためにも使用できます。この定理は、 Ax–Grothendieckの定理と同様に、単射性と全射性を関連付けますが、代数体ではなくセルオートマトンにおいてです。この定理の直接的な証明は知られていますが、Ax–Grothendieckの定理による証明は、可換群に作用するオートマトンにまで広く拡張されます。^{[ 6 ]}

Ax-Grothendieckの定理に対するいくつかの部分的な逆定理：

• 一般的に全射な多項式マップ${\displaystyle n}$有限生成拡張上の次元アフィン空間${\displaystyle \mathbb {Z} }$または${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} [t]}$は、同じ環上の多項式逆有理数と全単射である（したがって、代数閉包のアフィン空間上でも全単射である）。
• 一般的に全射な有理マップ${\displaystyle n}$ヒルベルト体上の次元アフィン空間は、一般的に同じ体上で定義された有理逆元と全単射である。（ここで「ヒルベルト体」とは、有理数体や関数体のように、ヒルベルトの既約性定理が成り立つ体を指す。）^{[ 7 ]}

• オコナー、マイケル（2008）。「アックスの定理：論理学の通常の数学への応用」。