フェレールの機能

数学において、フェラーズ関数は超幾何関数によって定義される特定の特殊関数である。^{[ 1 ] [ 2 ]}これらはノーマン・マクラウド・フェラーズ にちなんで名付けられた。^{[ 3 ]}

定義する${\displaystyle \mu }$順序、そして${\displaystyle \nu }$度数は実在し、仮定する${\displaystyle x\in (-1,+1)}$。

フェラール関数（第一種）

$${\displaystyle P_{v}^{\mu }(x)=\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)^{\mu /2}\cdot {\frac {{}_{2}F_{1}(v+1,-v;1-\mu ;1/2-x/2)}{\Gamma (1-\mu )}}}$$

フェラール関数（第2種）

${\displaystyle Q_{v}^{\mu }(x)={\frac {\pi }{2\sin(\mu \pi )}}\left(\cos(\mu \pi )\left({\frac {1+x}{1-x}}\right)^{\frac {\mu }{2}}\,{\frac {{}_{2}F_{1}\left(v+1,-v;1-\mu$ ;{\frac {1-x}{2}}\right)}{\Gamma (1-\mu )}}-{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu -\mu +1)}}\left({\frac {1-x}{1+x}}\right)^{\frac {\mu }{2}}\,{\frac {{}_{2}F_{1}\left(v+1,-v;1+\mu  ;{\frac {1-x}{2}}\right)}{\Gamma (1+\mu )}}\right)}

• ルジャンドル関数