古典的な容量

量子情報理論では、量子チャネルの古典容量とは、チャネルの多くの用途の限界において古典データをエラーなく送信できる最大速度です。Holevo 、Schumacher、Westmoreland は、任意の量子チャネルの古典容量の最小上限を次のように証明しました。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {N}})=\max _{\rho ^{XA}}I(X;B)_{{\mathcal {N}}(\rho )}}$

ここで、次の形式の古典量子状態は次のようになります。 ${\displaystyle \rho^{XA}}$

${\displaystyle \rho ^{XA}=\sum _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert ^{X}\otimes \rho _{x}^{A}, }$

${\displaystyle p_{X}(x)}$は確率分布であり、それぞれはチャネルに入力できる密度演算子です。 ${\displaystyle \rho_{x}^{A}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

HSW 符号化定理 (量子チャネルを介して古典データを通信するためのHolevo 情報レートの達成可能性の記述) について簡単に説明します。まず、定理に必要な最小限の量子力学について説明します。次に、量子の典型性について説明し、最後に、最近の順次復号化技術を使用して定理を証明します。 ${\displaystyle I(X;B)}$

HSW 符号化定理を証明するには、量子力学の基本的な事柄がいくつか必要です。まず、量子状態は密度演算子と呼ばれる単位トレースの正の演算子です。通常、これを、、などで表します。量子チャネルの最も単純なモデルは 、古典量子チャネルとして知られています。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle x\mapsto \rho _{x}.}$

上記の表記の意味は、送信側で古典的な文字を入力すると、受信側で 量子状態になるということです。送信側の入力を決定するための測定を実行するのは、受信者の役割です。状態が互いに完全に区別可能であることが真実である場合（つまり、 に対して となる直交サポートがある場合）、チャネルはノイズのないチャネルです。私たちが興味を持っているのは、そうではない状況です。状態がすべて互いに交換可能であることが真実である場合、これは実質的に古典的なチャネルの状況と同じであるため、これらの状況にも興味がありません。したがって、私たちが興味を持っている状況は、状態が 重複するサポートを持ち、非可換である状況です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho_{x}}$${\displaystyle \rho_{x}}$${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\left\{\rho _{x}\rho _{x^{\prime }}\right\}=0}$${\displaystyle x\neq x^{\prime}}$${\displaystyle \rho_{x}}$${\displaystyle \rho_{x}}$

量子測定を記述する最も一般的な方法は、正の演算子値測度( POVM )を使用することです 。通常、POVM の要素は と表されます 。有効な POVM を形成するには、これらの演算子が正値性と完全性を満たす必要があります。 ${\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}_{m}}$

${\displaystyle \Lambda _{m}\geq 0\ \ \ \ \forall m}$

${\displaystyle \sum _{m}\Lambda _{m}=I.}$

量子力学の確率的解釈によれば、誰かがPOVMに対応する測定装置を使用して量子状態を測定する場合、結果を得る確率は ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \left\{\Lambda _{m}\right\}}$${\displaystyle p\left(m\right)}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle p\left(m\right)={\text{Tr}}\left\{\Lambda _{m}\rho \right\},}$

そして測定後の状態は

${\displaystyle \rho _{m}^{\prime }={\frac {1}{p\left(m\right)}}{\sqrt {\Lambda _{m}}}\rho {\sqrt {\Lambda _{m}}},}$

測定者が結果 を得た場合。これらの規則は、CQ チャネルを介した古典的な通信方式を検討するのに十分です。 ${\displaystyle m}$

読者は、典型的なサブスペースに関する記事でこのトピックの優れたレビューを見つけることができます。

次の補題は証明にとって重要です。これは、平均して高い確率で成功する測定は、平均して状態をあまり乱さないことを示しています。

補題: [Winter]期待密度演算子 を持つアンサンブルが与えられたとき、となる演算子が状態 で高い確率で成功すると仮定します。 ${\displaystyle \left\{p_{X}\left(x\right),\rho _{x}\right\}}$${\displaystyle \rho \equiv \sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle I\geq \Lambda \geq 0}$${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Lambda \rho \right\}\geq 1-\epsilon .}$

すると、正規化されていない状態は、予想されるトレース距離において元の状態に近くなります。 ${\displaystyle {\sqrt {\Lambda }}\rho _{x}{\sqrt {\Lambda }}}$${\displaystyle \rho_{x}}$

${\displaystyle \mathbb {E} _{X}\left\{\left\Vert {\sqrt {\Lambda }}\rho _{X}{\sqrt {\Lambda }}-\rho _{X}\right\Vert _{1}\right\}\leq 2{\sqrt {\epsilon }}.}$

( は演算子の核ノルムな ので、 Trとなることに注意してください。) ${\displaystyle \left\Vert A\right\Vert _{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\Vert A\right\Vert _{1}\equiv }$${\displaystyle \left\{{\sqrt {A^{\dagger }A}}\right\}}$

次の不等式も有用です。これは、 となる任意の演算子 、に対して成立します。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle 0\leq \rho ,\sigma ,\Lambda \leq I}$

上記の不等式の量子情報理論的解釈は、状態に作用する量子測定から結果を得る確率は、状態に関する結果を得る確率と2つの状態の区別可能性の合計によって上限が定められるというものです。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

補題: [センの境界]および 、...が射影子であるような部分正規化状態に対して、次の境界が成り立ちます。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0\leq \sigma }$${\displaystyle Tr\left\{\sigma \right\}\leq 1}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle \Pi _{N}}$${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\sigma \right\}-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\ \sigma \ \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\right\}\leq 2{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{i}\right)\sigma \right\}}},}$

センの境界は、確率論の次の和集合境界に類似しているため、「非可換和集合境界」と考えることができます。

${\displaystyle \Pr \left\{\left(A_{1}\cap \cdots \cap A_{N}\right)^{c}\right\}=\Pr \left\{A_{1}^{c}\cup \cdots \cup A_{N}^{c}\right\}\leq \sum _{i=1}^{N}\Pr \left\{A_{i}^{c}\right\},}$

ここでイベントは、プロジェクターロジックの類似の境界は次のようになります。 ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{N}}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{1}\cdots \Pi _{N}\cdots \Pi _{1}\right)\rho \right\}\leq \sum _{i=1}^{N}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{i}\right)\rho \right\},}$

を部分空間の交差への射影子として考えると、この境界が成り立ちます。ただし、上記の境界は射影子、... が可換である場合にのみ成り立ちます ( 、、 を選択すると反例が得られます)。射影子が非可換である場合、Sen の境界が次善策であり、ここでの目的には十分です。 ${\displaystyle \Pi _{1}\cdots \Pi _{N}}$${\displaystyle \Pi _{1}}$${\displaystyle \Pi _{N}}$${\displaystyle \Pi _{1}=\left\vert +\right\rangle \left\langle +\right\vert }$${\displaystyle \Pi _{2}=\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert }$${\displaystyle \rho =\left\vert 0\right\rangle \left\langle 0\right\vert }$

ここで、センの非可換和集合境界を使用して HSW 定理を証明します。証明は、コードブック生成、POVM 構築、およびエラー分析といういくつかの部分に分けられます。

コードブックの生成。 まず、アリスとボブがランダムなコードの選択に同意する方法について説明します。彼らにはチャネルと分布があります。彼らはIID\ 分布に従って古典的なシーケンス を選択します。それらを選択した後、インデックスを としてラベル付けします。これにより、次の量子コードワードが生成されます。 ${\displaystyle x\rightarrow \rho _{x}}$${\displaystyle p_{X}\left(x\right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle p_{X^{n}}\left(x^{n}\right)}$${\displaystyle \left\{x^{n}\left(m\right)\right\}_{m\in \left[M\right]}}$

${\displaystyle \rho _{x^{n}\left(m\right)}=\rho _{x_{1}\left(m\right)}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}\left(m\right)}.}$

量子コードブックは となる。コードブックの平均状態は ${\displaystyle \left\{\rho _{x^{n}\left(m\right)}\right\}}$

どこ。 ${\displaystyle \rho =\sum _{x}p_{X}\left(x\right)\rho _{x}}$

POVM の構築。上記の補題からの Sens の境界は、アリスが送信する状態をボブがデコードする方法を示唆しています。ボブは最初に「受信した状態は平均の典型的なサブスペース内にあるか?」と尋ねる必要があります。ボブは、 に​​対応する典型的なサブスペース測定を実行することで、これを操作的に行うことができます。次に、ボブは順番に「受信したコードワードは 条件付きの典型的なサブスペース内にあるか?」と尋ねます。これは、ある意味で「受信したコードワードは送信されたコードワードであるか?」という質問と同じです。ボブは、 条件付きの典型的なプロジェクターに対応する測定を実行することで、これらの質問を操作的に行うことができます。 ${\displaystyle \left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n},I-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$${\displaystyle m^{\text{th}}}$${\displaystyle m^{\text{th}}}$${\displaystyle \left\{\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta },I-\Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}}$

この順次復号方式がなぜうまく機能するのでしょうか? その理由は、送信されたコードワードが平均して典型的なサブスペース内にあるためです。

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}}\right\}\right\}}$

${\displaystyle ={\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }\ \rho ^{\otimes n}\right\}}$

${\displaystyle \geq 1-\epsilon ,}$

ここで不等式は (\ref{eq:1st-typ-prop}) から導かれます。また、条件付き量子典型性から次の条件が成り立つため、プロジェクターは(平均して) 状態に対する「優れた検出器」となります。 ${\displaystyle \Pi _{\rho _{x^{n}\left(m\right)},\delta }}$${\displaystyle \rho _{x^{n}\left(m\right)}}$

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta }\ \rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon .}$

誤り解析。 逐次復号方式でコードワードを正しく 検出する確率は、${\displaystyle m^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},}$

ここで、 を略記する。（平均典型部分空間に投影するのは1回だけであることに注意。）したがって、コードワードの誤検出の確率は次のように表される。 ${\displaystyle {\hat {\Pi }}\equiv I-\Pi }$${\displaystyle m^{\text{th}}}$

${\displaystyle 1-{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\},}$

そしてこの方式の平均エラー確率は

${\displaystyle 1-{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{x^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}.}$

平均エラー確率を分析する代わりに、平均エラー確率の期待値を分析します。ここでの期待値は、コードのランダムな選択に関するものです。

最初のステップは、上記の量にセンの境界を適用することです。しかし、その前に、次のことに注意して、上記の式を少し書き直す必要があります。

${\displaystyle 1=\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+{\text{Tr}}\left\{{\hat {\Pi }}_{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}}$

${\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}+\epsilon }$

（ ３ ）に代入すると（今は小さな 項については忘れて）、上限は次のようになる。 ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}}$

${\displaystyle -\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}.}$

次に、この式にセンの境界を適用し、逐次射影子を、、、…、とします。これにより、上限が得られます。 平方根の凹面性により、この式は上から次のように制限できます。 ${\displaystyle \sigma =\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}}$${\displaystyle \Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }}$${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }}$${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }}$${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}2\left[{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right]^{1/2}\right\}.}$

${\displaystyle 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i=1}^{m-1}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2}}$

${\displaystyle \leq 2\left[\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}+\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}\right]^{1/2},}$

ここで、2 番目の境界は、コードワードと等しくないすべてのコードワードを合計することによって決まります(この合計は必ず大きくなります)。 ${\displaystyle m^{\text{th}}}$

ここでは、平方根内の項を小さくできることだけに焦点を当てます。最初の項を考えてみましょう。

${\displaystyle \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}}$

${\displaystyle \leq \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\left(I-\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right)\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}+\left\Vert \rho _{X^{n}\left(m\right)}-\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho _{X^{n}\left(m\right)}\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\Vert _{1}\right\}}$

${\displaystyle \leq \epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}.}$

ここで最初の不等式は( 1 )から導かれ、2番目の不等式は緩やかな作用素補題と無条件および条件付き典型性の性質から導かれる。ここで2番目の項と次の不等式の連鎖を考える。

${\displaystyle \sum _{i\neq m}\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\rho _{X^{n}\left(m\right)}\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{i\neq m}{\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho ^{\otimes n}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ {\text{Tr}}\left\{\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}}$

最初の等式は、コードワードと が 異なるため独立であるため成り立つ。2番目の等式は( 2 )から成り立つ。最初の不等式は(\ref{eq:3rd-typ-prop})から成り立つ。続けて、 ${\displaystyle X^{n}\left(m\right)}$${\displaystyle X^{n}\left(i\right)}$

${\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ \mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(i\right)},\delta }\right\}\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{i\neq m}2^{-n\left[H\left(B\right)-\delta \right]}\ 2^{n\left[H\left(B|X\right)+\delta \right]}}$

${\displaystyle =\sum _{i\neq m}2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}}$

${\displaystyle \leq M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}.}$

最初の不等式は、トレースを期待値と交換することで得られます。2 番目の不等式は (\ref{eq:2nd-cond-typ}) から得られます。次の 2 つは簡単です。 ${\displaystyle \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\leq I}$

すべてをまとめると、平均エラー確率の期待値の最終的な上限が得られます。

${\displaystyle 1-\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\frac {1}{M}}\sum _{m}{\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }{\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ \rho _{X^{n}\left(m\right)}\ \Pi _{\rho ,\delta }^{n}\ {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(1\right)},\delta }\cdots {\hat {\Pi }}_{\rho _{X^{n}\left(m-1\right)},\delta }\Pi _{\rho _{X^{n}\left(m\right)},\delta }\right\}\right\}}$

${\displaystyle \leq \epsilon +2\left[\left(\epsilon +2{\sqrt {\epsilon }}\right)+M\ 2^{-n\left[I\left(X;B\right)-2\delta \right]}\right]^{1/2}.}$

したがって、 を選択する限り、エラー確率がゼロになるコードが存在します。 ${\displaystyle M=2^{n\left[I\left(X;B\right)-3\delta \right]}}$

• エンタングルメント支援による古典的容量
• 量子容量
• 量子情報理論
• 典型的な部分空間

• Holevo, Alexander S. (1998)、「一般的な信号状態を持つ量子チャネルの容量」、IEEE Transactions on Information Theory、44 (1): 269–273、arXiv : quant-ph/9611023、doi :10.1109/18.651037。
• シューマッハ、ベンジャミン; ウェストモアランド、マイケル (1997)、「ノイズの多い量子チャネルを介した古典情報の送信」、Phys. Rev. A、56 (1): 131–138、Bibcode :1997PhRvA..56..131S、doi :10.1103/PhysRevA.56.131。
• ワイルド、マーク M. (2017)、量子情報理論、ケンブリッジ大学出版局、arXiv : 1106.1445、Bibcode :2011arXiv1106.1445W、doi :10.1017/9781316809976.001、S2CID  2515538
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