ホレボの定理

ホレボの定理は、物理学とコンピュータサイエンスの学際分野である量子コンピューティングにおける重要な極限定理です。量子状態について知ることができる情報量（アクセス可能な情報）の上限を定めるため、ホレボの境界と呼ばれることもあります。1973年に アレクサンダー・ホレボによって発表されました。

アリスが古典的なメッセージを量子状態にエンコードしてボブに送信したいとします。また、アリスはある固定された集合 から状態を準備でき、i 番目の状態は確率 で準備されるとします。は、アリスが行った状態の選択を格納する古典的なレジスタとします。ボブの目的は、受信した状態の測定結果から の値を回復することです。 は、ボブの測定結果を格納する古典的なレジスタとします。したがって、 は確率分布がボブの測定の選択に依存するランダム変数であることに注意してください。 ${\displaystyle \{\rho _{1},...,\rho _{n}\}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

Holevo の定理は、ボブの測定の選択に関係なく、 Holevo 情報に関して、古典的なレジスタと間の相関の量を制限します。これは、Holevo 情報が測定の選択に依存せず、したがってその計算で可能な測定の最適化を実行する必要がないため、実際には便利です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

より正確には、との間のアクセス可能な情報を、ボブ側のすべての可能な測定選択肢にわたって最大化された 2 つのレジスタ間の (古典的な) 相互情報量として定義します。ここで、は によって与えられる結合確率分布の (古典的な) 相互情報量です。現在、一般的なケースでアクセス可能な情報の定義の最適化を解析的に解く公式は知られていません。それでも、常に上限があります。ここで、 はアリスが情報を送信するために使用している状態の集合であり、 はフォン ノイマン エントロピーです。これはHolevo 情報量またはHolevo χ量と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)=\sup _{\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}}I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i}),}$$${\displaystyle I(X:Y|\{\Pi _{i}^{B}\}_{i})}$${\displaystyle p_{ij}=p_{i}\operatorname {Tr} (\Pi _{j}^{B}\rho _{i})}$$${\displaystyle I_{\rm {acc}}(X:Y)\leq \chi (\eta )\equiv S\left(\sum _{i}p_{i}\rho _{i}\right)-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}),}$$${\displaystyle \eta \equiv \{(p_{i},\rho _{i})\}_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \chi (\eta )}$

Holevo 情報は、2 部状態の量子相互情報量を伴う、アンサンブルに対応する古典量子状態の量子相互情報量にも等しいことに注意してください。したがって、Holevo の定理は、古典量子状態の量子相互情報量に関してアクセス可能な情報の境界として簡潔に要約できます。 $${\displaystyle \chi (\eta )=I\left(\sum _{i}p_{i}|i\rangle \!\langle i|\otimes \rho _{i}\right),}$$${\displaystyle I(\rho _{AB})\equiv S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB})}$${\displaystyle \rho _{AB}}$

アリスの古典的入力、量子システム、ボブの古典的出力を含む通信プロセス全体を記述する複合システムについて考えてみましょう。古典的入力は、何らかの正規直交基底に関する古典的レジスタとして記述できます。このように記述すると、状態のフォン・ノイマン・エントロピーは、確率分布のシャノン・エントロピーに対応します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho ^{X}:=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|}$${\displaystyle \{|x\rangle \}_{x=1}^{n}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S(X)}$${\displaystyle \rho ^{X}}$ ${\displaystyle H(X)}$${\displaystyle \{p_{x}\}_{x=1}^{n}}$

${\displaystyle S(X)=-\operatorname {tr} \left(\rho ^{X}\log \rho ^{X}\right)=-\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)=-\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}=H(X).}$

アリスが確率 で状態を準備するシステムの初期状態は、次のように記述されます。 ${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle p_{x}}$

${\displaystyle \rho ^{XQ}:=\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}.}$

その後、アリスは量子状態をボブに送信します。ボブは量子システムにはアクセスできますが入力にはアクセスできないため、形式の混合状態を受け取ります。ボブはPOVM要素に関してこの状態を測定し、結果を測定する確率は古典的な出力から得られます。この測定プロセスは量子計測器として説明できます。${\displaystyle Q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho :=\operatorname {tr} _{X}\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum \nolimits _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}}$${\displaystyle \{E_{y}\}_{y=1}^{m}}$${\displaystyle \{q_{y}\}_{y=1}^{m}}$${\displaystyle y=1,2,\dots ,m}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}(\rho _{x})=\sum _{y=1}^{m}q_{y|x}\rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|,}$

ここで は状態 が与えられた場合の結果の確率であり、あるユニタリ に対しては正規化された測定後の状態である。すると、測定プロセス後のシステム全体の状態は ${\displaystyle q_{y|x}=\operatorname {tr} \left(E_{y}\rho _{x}\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \rho _{x}}$${\displaystyle \rho _{y|x}=W{\sqrt {E_{y}}}\rho _{x}{\sqrt {E_{y}}}W^{\dagger }/q_{y|x}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \rho ^{XQ'Y}:=\left[{\mathcal {I}}^{X}\otimes {\mathcal {E}}^{Q}\right]\!\left(\rho ^{XQ}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|.}$

ここで、システム 上の恒等通信路 である。は量子通信路であり、量子相互情報量は完全に正のトレース保存写像の下で単調であるので、 ^[1]。さらに、上の部分トレースも完全に正でトレース保存なので、。これらの2つの不等式から、 ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {E}}^{Q}}$ ${\displaystyle S(X:Q'Y)\leq S(X:Q)}$${\displaystyle Q'}$${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q'Y)}$

${\displaystyle S(X:Y)\leq S(X:Q).}$

左側の関心量は、

${\displaystyle \rho ^{XY}:=\operatorname {tr} _{Q'}\left(\rho ^{XQ'Y}\right)=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x}q_{y|x}|x\rangle \langle x|\otimes |y\rangle \langle y|=\sum _{x=1}^{n}\sum _{y=1}^{m}p_{x,y}|x,y\rangle \langle x,y|,}$

結合確率 を持つ。明らかに、と同じ形式である および は古典的なレジスタを記述する。したがって、 ${\displaystyle p_{x,y}=p_{x}q_{y|x}}$${\displaystyle \rho ^{XY}}$${\displaystyle \rho ^{Y}:=\operatorname {tr} _{X}(\rho ^{XY})}$${\displaystyle \rho ^{X}}$

${\displaystyle S(X:Y)=S(X)+S(Y)-S(XY)=H(X)+H(Y)-H(XY)=I(X:Y).}$

一方、用語によって異なります ${\displaystyle S(X:Q)}$

${\displaystyle \log \rho ^{XQ}=\log \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \left(p_{x}\rho _{x}\right)=\sum _{x=1}^{n}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes I^{Q}+\sum _{x=1}^{n}|x\rangle \langle x|\otimes \log \rho _{x},}$

ここで は量子系上の恒等演算子である。すると、右辺は ${\displaystyle I^{Q}}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(X:Q)&=S(X)+S(Q)-S(XQ)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\rho ^{XQ}\log \rho ^{XQ}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\right)+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(X)+S(\rho )+\underbrace {\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\log p_{x}|x\rangle \langle x|\right)} _{-S(X)}+\operatorname {tr} \left(\sum _{x=1}^{n}p_{x}\rho _{x}\log \rho _{x}\right)\\&=S(\rho )+\sum _{x=1}^{n}p_{x}\underbrace {\operatorname {tr} \left(\rho _{x}\log \rho _{x}\right)} _{-S(\rho _{x})}\\&=S(\rho )-\sum _{x=1}^{n}p_{x}S(\rho _{x}),\end{aligned}}}$

これで証明は完了です。

本質的に、ホレボ境界は、 n個の 量子ビットが与えられた場合、量子重ね合わせのおかげで、より多くの（古典的な）情報を「運ぶ」ことができるものの、取得できる、つまりアクセスできる古典的な情報の量は、最大でn 個の古典的な（量子符号化されていない）ビットまでしかできないことを証明しています。また、理論的にも実験的にも、量子ビットが計算のプロセスを通じて古典的に可能な量よりも多くの情報を運ぶ計算があることが確立されました。^[2]

• 超高密度コーディング

• Holevo, Alexander S. (1973)。「量子通信チャネルによって伝送される情報量の限界」。情報伝送の問題。9 : 177–183。
• Nielsen, Michael A. ; Chuang, Isaac L. (2000).量子コンピューティングと量子情報ケンブリッジ、イギリス: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63235-5. OCLC  43641333. （531ページ、12.1.1節の式（12.6）を参照）
• Wilde, Mark M. (2011). 「古典的シャノン理論から量子的シャノン理論へ」arXiv : 1106.1445v2 [quant-ph].特にセクション11.6以降を参照してください。Holevoの定理は288ページの演習11.9.1に記載されています。