量子容量

量子通信の理論では、量子容量とは、送信者から受信者へのノイズの多い量子チャネルの多くの独立した使用を通じて量子情報を通信できる最高速度です。また、チャネル上でエンタングルメントを生成できる最高速度に等しく、順方向の古典的通信ではこれを改善できません。量子容量定理は、量子誤り訂正の理論、さらに広くは量子計算の理論にとって重要です。任意のチャネルの量子容量の下限を与える定理は、それを厳密さの基準を増しながら証明した著者のロイド、^[1]、ショア、^[2]、およびデベタック^[3]にちなんで、口語的にLSD定理として知られています。^[4]

LSD 定理は、量子チャネルのコヒーレント情報は、信頼性の高い量子通信を実現できる速度であると述べています。パウリ チャネルの場合、コヒーレント情報は単純な形式^{[引用が必要]}であり、それが実現可能であることの証明も非常に簡単です。私たち^{[誰が? ]は、ランダム}スタビライザー コードを利用し、チャネルが生成する可能性のあるエラーのみを修正すること で、この特殊なケースの定理を証明します。

定理(ハッシュ境界)。次の形式のパウリ チャネルのハッシュ限界を達成する安定化量子エラー訂正コードが存在します。ここで、 はこの確率ベクトルのエントロピーです。 ${\displaystyle R=1-H\left(\mathbf {p} \right)}$$${\displaystyle \rho \mapstop_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,}$$${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)}$${\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}$

証明。典型的なエラーのみを訂正することを検討する。つまり、 典型的なエラーセットを次のように定義する。ここで は文字からなるシーケンスであり、 はIIDパウリチャネルが何らかのテンソル積エラー を発行する確率である。この典型的なセットは、すべてのおよび十分に大きいに対して となる意味での起こり得るエラーで構成される。この場合のスタビライザーコードのエラー訂正条件^[5]は、 が訂正可能なエラーセットである場合で ある。$${\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},}$$${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}}$${\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}$${\displaystyle E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}}$$${\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\} \geq 1-\epsilon ,}$$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}$

$${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}},}$$となるすべてのエラーペアとに対して、 が成り立ちます。ここで、は の正規化子です。また、安定化コードをランダムに選択した場合のエラー確率の期待値も考慮します。 ${\displaystyle E_{a^{n}}}$${\displaystyle E_{b^{n}}}$${\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}$${\displaystyle N({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

次のように進めます。定義により、最初の等式が成り立ちます。 は、が修正不可能な場合は 1 に等しく、それ以外の場合は 0 に等しい指標関数です。非典型エラー セットの確率質量は無視できるため、典型的なエラーのみを修正するため、最初の不等式が成り立ちます。2 番目の等式は、期待値と合計を交換することで成り立ちます。3 番目の等式は、指標関数の期待値が、選択したイベントが発生する確率であるため成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle E_{a^{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

続いて、次のようになります。$${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\right\}}$$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.}$

最初の等式は、量子安定化コードの誤り訂正条件から導かれます。ここで、は の正規化子です 。最初の不等式は、コード内の潜在的な退化を無視することで得られます。つまり、誤りが正規化子内にある場合、その誤りは訂正不可能であると見なし、 のため確率はそれより大きくなることしかあり得ません。2 番目の等式は、存在基準とイベントの和集合の確率が等しいことを認識することで得られます。2 番目の不等式は、和集合の境界を適用することで得られます。3 番目の不等式は、固定演算子がランダム安定化子の安定化演算子と交換する恒等演算子と等しくない確率は、次のように上限を設定できるという事実から得られます。 ここでの論拠は、安定化コードのランダム選択は、演算子、...を固定し、一様ランダムなクリフォード ユニタリを実行することと同等であるということです。固定演算子が 、...と交換する確率は、正規化子内の非恒等演算子の数 ( ) を非恒等演算子の総数 ( ) で割った値になります。上記の境界を適用した後、次の典型性境界を利用します。 レートが である限り、エラー確率の期待値は任意に小さくなり、エラー確率の同じ境界を持つ安定化コードの選択肢が少なくとも 1 つ存在するという結論に達します。 ${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)}$${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}}$${\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(n-k\right)}.}$${\displaystyle Z_{1}}$${\displaystyle Z_{n-k}}$${\displaystyle {\overline {Z}}_{1}}$${\displaystyle {\overline {Z}}_{n-k}}$${\displaystyle 2^{n+k}-1}$${\displaystyle 2^{2n}-1}$$${\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},}$$$${\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.}$$${\displaystyle k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta }$

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