アッカーマンの公式

制御理論において、アッカーマンの公式は、ユルゲン・アッカーマンによる不変時間システムの極配置問題を解決するための制御システム設計法です。 ^{[1]制御システム設計における主要な問題の1つは、}閉ループシステムのダイナミクスを表す行列の固有値を変更することによってシステムのダイナミクスを変更するコントローラーの作成です。^[2]これは、極とゼロのキャンセルがない場合には、 関連する伝達関数の極を変更することと同じです。

状態空間表現を持つ線形連続時間不変システムを考える

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\dot {x}} (t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bu} (t)\\\mathbf {y} (t) &=\mathbf {Cx} (t)\end{aligned}}}$$

ここで、xは状態ベクトル、uは入力ベクトル、A、B、Cはシステムのダイナミクスを表す互換性のある次元の行列です。このシステムの入出力記述は、伝達関数によって与えられます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \\[4pt]& =\mathbf {C} \ {\frac {\演算子名 {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )}{\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )}}\ \mathbf {B} .\end{aligned}}}$$

ここで、detは行列式、adjは助動詞です。右方程式の分母はAの特性多項式で与えられるため、 Gの極はAの固有値です（分子と分母の項の間で相殺がある場合があるため、逆は必ずしも真ではないことに注意してください）。システムが不安定な場合、応答が遅い場合、または設計基準を指定しないその他の特性がある場合は、システムを変更すると有利になる可能性があります。ただし、行列A、B、C は、変更できないシステムの物理パラメータを表す場合があります。したがって、この問題に対する 1 つのアプローチは、ゲインkを持つフィードバックループを作成し、状態変数x を入力uに入力することです。

システムが制御可能であれば、任意の状態x _0を他の任意の状態x ( t )に転送できる入力u ( t )が常に存在します。これを念頭に置いて、制御入力u ( t ) = r ( t ) − kx ( t )を使用してシステムにフィードバックループを追加できます。これにより、システムの新しいダイナミクスは次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\dot {x}} (t)&=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {B} [\mathbf {r} (t)-\mathbf {kx} (t)]\\[2pt]&=[\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ]\mathbf {x} (t)+\mathbf {Br} (t),\\[4pt]\mathbf {y} (t)&=\mathbf {Cx} (t).\end{aligned}}}$$

この新しい実現では、極はA − Bkの特性多項式Δ _newに依存する。つまり、

$${\displaystyle \Delta _{\text{new}}(s)=\det {\bigl (}s\mathbf {I} -(\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ){\bigr )}.}$$

特性多項式を計算し、適切なフィードバック行列を選択することは、特に大規模なシステムでは困難な作業となる可能性があります。計算を簡単にする方法の1つは、アッカーマンの公式を使用することです。簡単にするために、参照パラメータrを持たない単一の入力ベクトルを考えてみましょう 。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (t)&=-\mathbf {k} ^{\rm {T}}\mathbf {x} (t)\\[2pt]\mathbf {\dot {x}} (t)&=\mathbf {Ax} (t)-\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {x} (t),\end{aligned}}}$$

ここで、k ^{T は}互換性のある次元のフィードバック ベクトルです。アッカーマンの公式によれば、次の式を計算するだけで設計プロセスを簡素化できます。

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\,{\mathcal {C}}^{-1}\Delta _{\text{new}}(\mathbf {A} ),}$$

ここで、Δ _new ( A ) は行列Aで評価される所望の特性多項式であり、システムの 制御可能性行列である。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

この証明は、 Encyclopedia of Life Support SystemsのPole Placement Controlの項目に基づいています。 ^[3] システムが制御可能であると仮定します。の特性多項式は次のように与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {CL}}:=(\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})}$

$${\displaystyle \Delta (\mathbf {A} _{\rm {CL}})=(\mathbf {A} _{\rm {CL}})^{n}+\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}\mathbf {A} _{\rm {CL}}^{k}}$$

A _CLの累乗を計算すると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} _{\rm {CL}})^{0}=&\ (\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})^{0}=\mathbf {I} \\[4pt](\mathbf {A} _{\rm {CL}})^{1}=&\ (\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})^{1}=\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\\[4pt](\mathbf {A} _{\rm {CL}})^{2}=&\ (\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})^{2}\\[2pt]&=\mathbf {A} ^{2}-\mathbf {ABk} ^{\rm {T}}-\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} +(\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})^{2}\\[2pt]&=\mathbf {A} ^{2}-\mathbf {ABk} ^{\rm {T}}-(\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})[\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}]\\[2pt]&=\mathbf {A} ^{2}-\mathbf {ABk} ^{\rm {T}}-\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}\\[4pt]\vdots \ &\\[4pt](\mathbf {A} _{\rm {CL}})^{n}=&\ (\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})^{n}\\[2pt]&=\mathbf {A} ^{n}-\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}-\mathbf {A} ^{n-2}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}-\ldots -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}^{n-1}\end{aligned}}}$$

前の式をΔ( ACL )に置き換えると次の式が得られる _。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\mathbf {A} _{\rm {CL}})&=\overbrace {(\mathbf {A} ^{n}-\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}-\mathbf {A} ^{n-2}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}-\ldots -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}^{n-1})} ^{(\mathbf {A} _{\rm {CL}})^{n}}+\overbrace {\ldots +\alpha _{2}(\mathbf {A} ^{2}-\mathbf {ABk} ^{\rm {T}}-\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}})+\alpha _{1}(\mathbf {A} -\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})+\alpha _{0}\mathbf {I} } ^{\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}\mathbf {A} _{\rm {CL}}^{k}}\\[4pt]&=(\mathbf {A} ^{n}+\alpha _{n-1}\mathbf {A} ^{n-1}+\ldots +\alpha _{2}\mathbf {A} ^{2}+\alpha _{1}\mathbf {A} +\alpha _{0}\mathbf {I} )-(\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}+\mathbf {A} ^{n-2}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}+\ldots +\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}^{n-1})+\ldots -\alpha _{2}(\mathbf {ABk} ^{\rm {T}}+\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}})-\alpha _{1}(\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})\\[4pt]&=\Delta (\mathbf {A} )-(\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}+\mathbf {A} ^{n-2}\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}+\ldots +\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}}^{n-1})-\ldots -\alpha _{2}(\mathbf {ABk} ^{\rm {T}}+\mathbf {Bk} ^{\rm {T}}\mathbf {A} _{\rm {CL}})-\alpha _{1}(\mathbf {Bk} ^{\rm {T}})\end{aligned}}}$$

上記の式を行列積として書き直し、 k ^{T が}孤立して現れない 項を省略すると、

$${\displaystyle \Delta (\mathbf {A} _{\rm {CL}})=\Delta (\mathbf {A} )-{\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {AB} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\star \\\vdots \\\mathbf {k} ^{\rm {T}}\end{bmatrix}}}$$

ケーリー・ハミルトン定理_よりΔ ( ACL ) =0なので

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {AB} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\star \\\vdots \\\mathbf {k} ^{\rm {T}}\end{bmatrix}}=\Delta (\mathbf {A} )}$$

はシステムの制御可能性行列であることに注意してください。システムは制御可能であるため、は可逆です。したがって、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {AB} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\star \\\vdots \\\mathbf {k} ^{\rm {T}}\end{bmatrix}}={\mathcal {C}}^{-1}\Delta (\mathbf {A} )}$$

k ^{T を}求めるには、両辺にベクトルを掛けて、 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\star \\\vdots \\\mathbf {k} ^{\rm {T}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\,{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (\mathbf {A} )}$$

したがって、

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\,{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (\mathbf {A} )}$$

^[4]を検討してください

$${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} ={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}\mathbf {x} +{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\mathbf {u} }$$

Aの特性多項式から、システムが不安定であることがわかります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )&=(s-1)(s-2)-1\\&=s^{2}-3s+2,\end{aligned}}}$$

行列Aは正の固有値のみを持つ。したがって、システムを安定化するためにフィードバックゲインを設定する必要がある。

$${\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.}$$

アッカーマンの公式から、システムの特性方程式が所望の多項式と等しくなるようにシステムを変更する行列kを見つけることができます。${\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(s)=s^{2}+11s+30.}$

したがって、制御可能性行列を計算すると、 ${\displaystyle \Delta _{\text{desired}}(\mathbf {A} )=\mathbf {A} ^{2}+11\mathbf {A} +30\mathbf {I} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {C}}&={\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {AB} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\\[4pt]\implies {\mathcal {C}}^{-1}&={\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

また、${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}2&3\\3&5\end{smallmatrix}}\right].}$

最後に、アッカーマンの公式から

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} ^{\rm {T}}&={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}2&3\\3&5\end{bmatrix}}+11{\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}+30\mathbf {I} \right)\\[2pt]&={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}43&14\\14&57\end{bmatrix}}\\[2pt]&={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}29&-43\\14&57\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}14&57\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

アッカーマンの公式は状態観測器の設計にも使用できる。線形離散時間観測システムを考える。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} (n+1)&=\mathbf {A{\hat {x}}} (n)+\mathbf {Bu} (n)+\mathbf {L} [\mathbf {y} (n)-\mathbf {\hat {y}} (n)]\\\mathbf {\hat {y}} (n)&=\mathbf {C{\hat {x}}} (n)\end{aligned}}}$$

観測器ゲインLの場合、状態観測器の設計に関するアッカーマンの式は次のように表される。

$${\displaystyle \mathbf {L} ^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}({\mathcal {O}}^{\rm {T}})^{-1}\Delta _{\text{new}}(\mathbf {A} ^{\rm {T}})}$$

観測可能性行列 。ここで、観測可能性行列とシステム行列が転置されていることに注意することが重要です。そしてA ^T。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\rm {T}}}$

アッカーマンの公式は連続時間観測システムにも適用できます。

• 完全な状態フィードバック

• 制御システムと制御工学のウィキブックにおけるアッカーマンの公式に関する章