身をよじる

結び目理論では、ねじれ量、または${\displaystyle \operatorname {Wr} }$ある意味では、それは純粋に有向リンク図の性質であり、整数値をとります。別の意味では、それは3次元空間における数学的結び目（または任意の閉じた単純曲線）の「巻き込み」の量を記述する量であり、実数を値としてとります。どちらの場合も、巻き込みは幾何学的量であり、曲線（または図）をそのトポロジーを変えずに変形しても、巻き込みは変化する可能性があることを意味します。^{[ 1 ]}

結び目理論において、ねじれ数は、向き付けられた絡み目図の特性の一つである。ねじれ数は、正の交差の総数から負の交差の総数を引いた値である。

各コンポーネント内の特定の位置でリンクに方向が割り当てられ、その方向に従って各コンポーネントを一周します。この方向に沿って移動中に遭遇する各交差について、下のストランドが右から左に向いている場合は交差は正、下のストランドが左から右に向いている場合は交差は負となります。これを覚える一つの方法は、右手の法則の変形を用いることです。

結び目図の場合、どちらの向きでも右手の法則を用いると同じ結果が得られるため、向きのない結び目図ではねじれが明確に定義される。

結び目のねじれは、3つのライデマイスター操作のうち2つ（タイプIIとタイプIIIの操作）の影響を受けません。しかし、タイプIの操作はねじれを1だけ増減させます。これは、結び目のねじれが結び目自体の同位体不変量ではなく、図式のみの同位体不変量であることを意味します。一連のタイプIの操作によって、与えられた結び目の図式のねじれを任意の整数に設定することができます。

ねじれは、3次元空間における曲線として表現される結び目の性質でもある。厳密に言えば、結び目は、数学的には3次元ユークリッド空間における円の埋め込みとして定義される曲線である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$曲線を異なる視点から観察することで、異なる投影図を得て、対応する結び目図を描くことができる。${\displaystyle \operatorname {Wr} }$（空間曲線の意味では）は、すべての視点からの投影から得られる積分ねじれ値の平均に等しい。^{[ 2 ]}したがって、この状況では、ねじれは可能な値として任意の実数を取ることができる。^{[ 1 ]}

1961年の論文^{[ 3 ]}で、ゲオルゲ・カルガレアヌは次の定理を証明した。$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$、 させて${\displaystyle \operatorname {Lk} }$をその境界コンポーネントの連結数とし、${\displaystyle \operatorname {Tw} }$その完全なねじれ。そして違いは${\displaystyle \operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$リボンのコアカーブのみに依存し、^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$。

1959年の論文^{[ 4 ]}で、カルガレアヌは積分を用いてねじれWrを計算する方法も示した。${\displaystyle C}$滑らかで単純な閉じた曲線であり、$\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$そして$\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$点${\displaystyle C}$すると、ねじれはガウス積分に等しくなる。

${\displaystyle \operatorname {Wr} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}}$。

空間内の曲線のねじれは二重積分として定義されるため、まず曲線を有限の連鎖として表現することで、その値を数値的に近似することができます。${\displaystyle N}$線分。マイケル・レビット^{[ 5 ]}がタンパク質の折り畳みの記述のために最初に考案し、後にコンスタンティン・クレニンとヨルグ・ランゴフスキー^{[ 6 ]}が超らせんDNAに使用した手順は、

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}}$、

どこ${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$これは線分上の二重積分の正確な評価です${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$; ご了承ください${\displaystyle \オメガ _{ij}=\オメガ _{ji}}$そして${\displaystyle \オメガ _{i,i+1}=\オメガ _{ii}=0}$[ ^{6 ]​}

評価するために${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$番号が付けられた特定のセグメントに対して${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$2 つのセグメントの端点を 1、2、3、4 と番号付けします。$\displaystyle r_{pq}}$終点から始まるベクトルとする${\displaystyle p}$そして終点で終わる${\displaystyle q}$. 次の量を定義します: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}$

次に計算します^{[ 6 ]}

${\displaystyle \Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

最後に、符号の差を考慮して、$4π$^{[ 6 ]}を取得するために

${\displaystyle {\frac {\Omega }{4\pi }}={\frac {\Omega ^{*}}{4\pi }}{\text{sign}}\left(\left(r_{34}\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}$

さらに、writheを計算する他の方法も数学的およびアルゴリズム的に完全に記述することができ、それらのいくつかは上記の方法（計算複雑度が2次である）よりも線形複雑度で優れている。^{[ 6 ]}

DNAはゴムホースやロープのようにねじられるとコイル状になり、そのため生物数学者はねじれ応力によってDNAが変形する量を「ねじれ」という量で表します。一般に、ねじれによってコイルが形成されるこの現象はDNAスーパーコイルと呼ばれ、非常に一般的であり、実際、ほとんどの生物ではDNAは負のスーパーコイルになっています。^{[ 1 ]}

DNAに限らず、あらゆる弾性棒は、ねじれ応力を緩和するためにコイル状に巻かれ、その動作によって同時にねじれが解消され、曲がる。F. ブロック・フラーは、^{棒の中心曲線がコイルを形成してそのねじれ数を増加させると、「棒の局所的なねじれによる弾性エネルギーが減少する」}ことを数学的に示している[7]。

• DNAの超らせん構造
• リンク番号
• リボン理論
• ツイスト（数学）
• 巻数

• アダムス、コリン（2004） 『結び目の本：結び目の数学理論への初歩的な入門』アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3678-1