ウィルソンの定理

仮に${\displaystyle n}$合成数である。したがって、素数で割り切れる。${\displaystyle q}$どこ${\displaystyle 2\leq q<n}$。 なぜなら${\displaystyle q}$分ける${\displaystyle n}$整数が存在する${\displaystyle k}$そのため${\displaystyle n=qk}$矛盾を生じさせるために、${\displaystyle (n-1)!}$一致してい た${\displaystyle -1}$モジュロ${\displaystyle {n}}$。 それから${\displaystyle (n-1)!}$また、${\displaystyle -1}$モジュロ${\displaystyle {q}}$: 実際、もし${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$それから${\displaystyle (n-1)!=nm-1=(qk)m-1=q(km)-1}$ある整数に対して${\displaystyle m}$そして結果として${\displaystyle (n-1)!}$の倍数より 1 少ない${\displaystyle q}$一方、${\displaystyle 2\leq q\leq n-1}$拡張製品における要因の1つ${\displaystyle (n-1)!=(n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1}$は${\displaystyle q}$。 したがって${\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {q}}}$これは矛盾です。したがって、${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$いつ${\displaystyle n}$複合材料です。

実際、それ以上のことが言える。${\displaystyle n=4}$、 どこ$\displaystyle 3!=6\equiv 2\pmod {4}}$、 もし${\displaystyle n}$複合である場合${\displaystyle (n-1)!}$は 0 を法として合同である${\displaystyle n}$証明は2つのケースに分けられます。まず、${\displaystyle n}$は、2つの異なる数の積として因数分解できます。${\displaystyle n=ab}$、 どこ${\displaystyle 2\leq a<b<n}$すると両方とも${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$製品の要素として表示されます${\displaystyle (n-1)!=(n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1}$など${\displaystyle (n-1)!}$は割り切れる${\displaystyle ab=n}$。 もし${\displaystyle n}$そのような因数分解が存在しないならば、それは何らかの素数の平方でなければならない。${\displaystyle q}$2より大きい。しかしその後${\displaystyle 2q<q^{2}=n}$両方とも${\displaystyle q}$そして${\displaystyle 2q}$要因となる${\displaystyle (n-1)!}$、 など${\displaystyle n}$分ける${\displaystyle (n-1)!}$この場合も同様です。

以下の最初の 2 つの証明では、素数を法とする剰余類が有限体(具体的には素体) を形成するという事実を利用しています。^{[ 6 ]}

実際には、ウィルソンの定理は素数判定法としては役に立たない。なぜなら、大きなnに対して( n − 1)! を法nで計算するのは計算が複雑だからである。^{[ 7 ]}

ウィルソンの定理を用いると、任意の奇素数p = 2 m + 1に対して、左辺を並べ替えることができる。 $${\displaystyle 1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p}}}$$ 平等を得るために $${\displaystyle 1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (pm)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}.}$$ これは $${\displaystyle \prod _{j=1}^{m}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}}$$ または $${\displaystyle (m!)^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}.}$$ この事実を利用して、有名な結果の一部を証明できます。p ≡ 1 (mod 4)を満たす任意の素数pに対して、数 (−1) はmod pの平方数 (平方剰余) です。このために、ある整数kに対してp = 4 k + 1 とします。すると、上記のm = 2 kとすることができ、( m !) ^{2 は}(−1) (mod p ) と合同であることが結論付けられます。          

ウィルソンの定理は素数を求める公式を構築するために用いられてきたが、それらは実用的価値を持つには処理速度が遅すぎる。

ウィルソンの定理により、p進ガンマ関数を定義することができる。