グループ収縮

理論物理学において、ユージン・ウィグナーとエルダル・イノニュは^{[ 1 ]、}与えられたリー群から、その連続部分群に関する群縮約によって、異なる（非同型な）リー群を得る可能性について議論した。これは、適切な条件下で、リー代数のパラメータに対する極限操作に相当し、このリー代数の構造定数を非自明な特異な方法で変化させる。^{[ 2 ] [ 3 ]}

例えば、3D回転群SO(3)のリー代数[ X1 _, X2 ] = X3_などは、変数変換Y1 = εX1 , Y2 _{= εX2} , _Y3 = X3によって_次のように_{書き換える}ことができる。

[ Y ₁ , Y ₂ ] = ε ² Y ₃、[ Y ₂ , Y ₃ ] = Y ₁、[ Y ₃ , Y ₁ ] = Y ₂    。

収縮極限ε → 0 は最初の交換子を自明化し、平面ユークリッド群の非同型代数E ₂ ~ ISO(2)をもたらします。(これは円筒群と同型であり、円筒の表面上の点の運動を記述します。これはミンコフスキー空間のヌル4 ベクトルの小群、または安定化部分群です。) 具体的には、並進生成子Y ₁、Y ₂は、 E ₂のアーベル正規部分群 (群拡張を参照)、放物型ローレンツ変換を生成します。

物理学において非常に応用されている同様の限界（対応原理を参照）は、

• ド・ジッター群SO(4, 1) ~ Sp(2, 2)からポアンカレ群ISO(3, 1)へ、ド・ジッター半径が発散する: R → ∞ ; または
• AdS半径がR →∞に発散するにつれて、超反ド・ジッター代数から超ポアンカレ代数へ。
• ポアンカレ群からガリレイ群へ、光速が発散するにつれて: c → ∞ ; ^{[ 4 ]}または
• プランク定数がゼロになる古典極限では、モヤル括弧リー代数（量子交換子に相当）からポアソン括弧リー代数へ: ħ → 0。

• Dooley, AH; Rice, JW (1985). "半単純リー群の縮約について" (PDF) .アメリカ数学会紀要. 289 (1): 185– 202. doi : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1999695 . MR 0779059 .   
• ギルモア、ロバート（2006）。リー群、リー代数、およびその応用例。ドーバー数学叢書。ドーバー出版。ISBN 0486445291. MR 1275599 . 
• Inönü, E. ; Wigner, EP (1953). "On the Contraction of Groups and Their Representations" . Proc. Natl. Acad. Sci . 39 (6): 510–24 . Bibcode : 1953PNAS...39..510I . doi : 10.1073/pnas.39.6.510 . PMC 1063815 . PMID 16589298 .  
• Saletan, EJ (1961). "リー群の縮約". Journal of Mathematical Physics . 2 (1): 1– 21. Bibcode : 1961JMP.....2....1S . doi : 10.1063/1.1724208 .
• Segal, IE (1951). 「群によって決定される作用素環のクラス」. Duke Mathematical Journal . 18 : 221. doi : 10.1215/S0012-7094-51-01817-0 .