ビジュアルバイナリ

視覚的な連星の例：VLT/GRAVITYによって撮影されたオリオン座のシータ1星C1（下）とC2（上）。

視覚連星とは、重力によって結びついた連星系^{[ 1 ]}であり、明るさが変動する単一の点光源とは異なり、2つの別々の星として視覚的に分離できるものです。すべての連星と同様に、視覚連星は通常、明るさの異なる2つの星で構成され、明るい方の星が主星、暗い方の星が伴星とみなされます。伴星に比べて主星が明るすぎると、グレアが発生し、2つの構成要素を分離するのが難しくなります。^{[ 2 ]}ただし、明るい方の星の観測で、重心の周りで揺れていることがわかれば、システムを分離することができます。^{[ 3 ]}一般的に、視覚連星は、中心間の距離が1秒角以上であれば望遠鏡で2つの星に分離できますが、最新のプロ用望遠鏡、干渉計、または宇宙ベースの機器を使用すると、より近い距離で星を分離できます。

視覚連星系の場合、測定では、天球上での見かけの角分離と、主星に対する伴星の位置角を秒角単位で指定する必要があります。一定期間にわたって測定すると、視覚連星系の見かけの相対軌道が天球上に現れます。視覚連星の研究により、質量、密度、表面温度、光度、自転速度などの有用な恒星特性が明らかになります。^{[ 4 ]}これらの恒星は、ケプラーの第3法則により、数年から数千年に及ぶ周期を持つと推定されています。

距離

視覚連星系の構成要素の質量を算出するには、まずその系までの距離を決定する必要があります。なぜなら、これによって天文学者は公転周期と2つの星間の距離を推定できるからです。三角視差は、星の質量を直接計算する方法を提供します。これは視覚連星系には適用されませんが、動的視差と呼ばれる間接的な方法の基礎となります。^{[ 5 ]}

三角法による視差

この距離計算方法を用いるには、恒星の2つの測定を行う。1つは地球の太陽周回軌道の反対側でそれぞれ1回ずつ測定する。恒星の位置は、より遠くにある背景の恒星に対してずれて見える。視差の値は、平均位置からの各方向のずれ、すなわち1 天文単位離れた観測からの角度ずれに相当すると考えられる。 $d$ パーセク単位の値は、次の式から求められます。

d={\frac {1}{\tan(p)}}

どこ $p$ は視差であり、単位は秒角である。^{[ 6 ]}

動的視差

この方法は連星系にのみ使用されます。連星系の質量は太陽の2倍であると仮定します。次にケプラーの法則を適用して、星間の距離を決定します。この距離がわかれば、空に張られる弧から距離を求めることができ、一時的な距離測定値が得られます。この測定値と両方の星の見かけの等級から光度を求め、質量-光度関係を使用して各星の質量を求めます。これらの質量を使用して分離距離を再計算し、このプロセスを複数回繰り返すと、最大5%の精度が得られます。より高度な計算では、時間の経過に伴う星の質量の損失を考慮に入れます。^{[ 5 ]}

分光視差

分光視差は、連星系までの距離を決定するためによく用いられるもう一つの方法です。視差は実際に測定されるわけではなく、単に距離が推定されていることを強調するためにこの言葉が使われています。この方法では、恒星の光度はそのスペクトルから推定されます。特定の種類の遠方の恒星のスペクトルは、同じ種類の近傍の恒星のスペクトルと同じであると仮定されます。次に、恒星は、そのライフサイクルのどの段階にあるかに基づいて、ヘルツシュプルング・ラッセル図上の位置に割り当てられます。恒星の光度は、近傍の恒星のスペクトルと比較することによって推定できます。そして、次の逆二乗法則によって距離が決定されます。

b={\frac {L}{4\pi d^{2}}}

どこ $b$ 見かけの明るさと $L$ は輝度です。

太陽を基準として、次のように書くことができます

{\frac {L}{L_{\odot }}}={\bigg (}{\frac {d_{\odot }^{2}}{b}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {d^{2}}{b_{\odot }}}{\bigg )}

添え字は $\odot$ 太陽に関連するパラメータを表します。

再配置 $d²$ 距離の推定値を示します。^{[ 7 ]}

d^{2}={\bigg (}{\frac {L}{L_{\odot }}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {b_{\odot }}{b}}{\bigg )}

ケプラーの法則

互いに周回する2つの恒星とそれらの重心は、ケプラーの法則に従わなければならない。これは、軌道が2つの焦点のうちの1つに重心がある楕円であること（ケプラーの第1法則）、そして軌道運動が恒星と重心を結ぶ線が等しい時間間隔で等しい面積を掃くという事実を満たすこと（ケプラーの第2法則）を意味する。軌道運動はケプラーの第3法則も満たさなければならない。^{[ 8 ]}

ケプラーの第3法則は次のように表すことができます。「惑星の公転周期の2乗は、その軌道長半径の3乗に比例する。」数学的には、これは次のように表されます。

T^{2}\propto a^{3}

どこ $T$ は惑星の公転周期であり、 $a$ は軌道の長半径である。^{[ 8 ]}

ニュートンの一般化

連星系を考えてみましょう。これは質量が 2 つの天体から構成されています。 $m_{1}$ そして $m_{2}$ それぞれの重心の周りを公転している。 $m_{1}$ 位置ベクトルを持つ $\displaystyle r_1}}$ 軌道速度 $v_{1}$ 、そして $m_{2}$ 位置ベクトルを持つ $\displaystyle r_2$ 軌道速度 $v_{2}$ 質量中心を基準とした距離。2つの星間の距離は、 $r$ 、そしては一定であると仮定される。重力は両方の星の中心を結ぶ線に沿って作用するため、星は重心を中心とした周期が等しく、したがって互いの間隔は一定であると仮定できる。^{[ 9 ]}

ケプラーの第3法則に相当するニュートンの法則を導き出すには、まずニュートンの第2法則、すなわち「物体に作用する正味の力は、物体の質量と結果として生じる加速度に比例する」という法則を考察することから始めればよい。

F_{net}=\sum \,F_{i}=ma

どこ $F_{net}$ 質量を持つ物体に作用する正味の力 $m$ 、そして $a$ は物体の加速度である。^{[ 10 ]}

ニュートンの第二法則に向心加速度の定義を適用すると、次の力が得られます。

F={\frac {mv^{2}}{r}}

^{[ 11 ]}

軌道速度が次のように与えられるという事実を利用する

v={\frac {2\pi r}{T}}

^{[ 11 ]}

各星にかかる力は次のように表すことができます。

F_{1}={\frac {4\pi ^{2}m_{1}r_{1}}{T^{2}}}

そして

F_{2}={\frac {4\pi ^{2}m_{2}r_{2}}{T^{2}}}

ニュートンの第三法則「すべての作用には、それと等しく反対向きの反作用がある」を適用すると

F_{12}=-F_{21}

^{[ 10 ]}

それぞれの恒星にかかる力を等しく設定することができる。

{\frac {4\pi ^{2}m_{1}r_{1}}{T^{2}}}={\frac {4\pi ^{2}m_{2}r_{2}}{T^{2}}}

これは以下になります

r_{1}m_{1}=r_{2}m_{2}

質量が等しくないと仮定すると、この式は、質量の小さい方が質量の大きい方よりも重心から遠い位置にあることを示している。

分離 $r$ 2つのオブジェクトのうち

r=r_{1}+r_{2}

以来 $\displaystyle r_1}}$ そして $\displaystyle r_2$ 反対方向から始まり、重心で交わる線が形成されるだろう。

これで、この式を星にかかる力を記述する方程式の1つに代入して、 $\displaystyle r_1}}$ 一方の星の位置と両方の星の質量、そしてそれらの間の距離を関連付ける式を見つける。同様に、これは次のように解くこともできた。 $\displaystyle r_2$ 我々は以下のことを発見した。

r_{1}={\frac {m_{2}a}{(m_{1}+m_{2})}}

この方程式を星の1つにかかる力の方程式に代入し、それをニュートンの万有引力の法則（すなわち、 $F=Gm_{1}m_{2}/a^{2}$ [ ¹⁰^]周期の二乗を求めると、必要な結果が得られます^。

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{G(m_{1}+m_{2})}}

^{[ 10 ]}

これはニュートンのケプラーの第三法則です。 $G$ 非標準単位が使用されている場合、質量が太陽質量、軌道周期が年、軌道長半径が天文単位（例えば、地球の軌道パラメータ）で測定されている場合は、この方法は機能しません。SI単位系を全体を通して使用すれば機能します。

恒星質量の決定

連星系は特に重要です。なぜなら、それらは互いに周回しているため、互いの軌道と重心の周りの軌道のパラメータを観測することで、それらの重力相互作用を研究できるからです。ケプラーの第 3 法則を適用する前に、視覚連星の軌道の傾斜を考慮する必要があります。地球上の観測者に対して、軌道面は通常傾いています。0° の場合、軌道面は一致しているように見え、90° の場合、横から見ているように見えます。この傾斜により、楕円形の真の軌道は、楕円形の見かけの軌道を天球面に投影します。ケプラーの第 3 法則は依然として成り立ちますが、楕円形の見かけの軌道に対して比例定数が変化します。^[¹²^] 軌道の傾斜は、主星と見かけの焦点の間の距離を測定することによって決定できます。この情報が分かれば、真の軌道離心率と真の軌道長半径を計算できます。なぜなら、軌道傾斜角が0°より大きいと仮定すると、見かけの軌道は真の軌道よりも短くなり、この影響は単純な幾何学を用いて補正できるからです。

a={\frac {a''}{p''}}

どこ $a''$ は真の半長軸であり、 $p''$ 視差とは、

真の軌道が分かれば、ケプラーの第3法則を適用できます。観測可能な量を用いて次のように書き直します。

(m_{1}+m_{2})T^{2}={\frac {4\pi ^{2}(a''/p'')^{3}}{G}}

この式から、連星系に関わる質量の合計が得られます。以前に導出した式を思い出してください。

r_{1}m_{1}=r_{2}m_{2}

どこ

r_{1}+r_{2}=r

半長軸の比率を解くことができ、したがって2つの質量の比率も解くことができる。

{\frac {a_{1}''}{a_{2}''}}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}

そして

{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}

これらの比率と、各星と系の重心との間の距離を知ることで、星の個々の質量が導き出される。^{[ 4 ]}

質量－光度関係

恒星の光度を求めるには、放射エネルギーの流れ、すなわち放射束を観測する必要がある。観測された光度と質量をグラフ化すると、質量と光度の関係が得られる。この関係は、1924年にアーサー・エディントンによって発見された。

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{\alpha }

_ここで、 Lは恒星の光度、Mはその質量である。L☉_とM☉は太陽の光度と質量である。[ ¹³^]^値は $\alpha$ = 3.5 は主系列星によく用いられる値である。 ^[¹⁴^]この式と通常の a = 3.5 の値は、質量が 2 M☉ < M < 20 M☉ の主系列星にのみ適用され_、赤色巨星や白色矮星に_は適用されない。これらの星は質量が異なるため、この式は異なる定数で適用される。質量の異なる範囲に対して、質量-光度関係の適切な形式は次のようになる。

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx .23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}\qquad (M<.43M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}\qquad \qquad (.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 1.5\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}\qquad (2M_{\odot }<M<20M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\varpropto {\frac {M}{M_{\odot }}}\qquad (M>20M_{\odot })

星の光度が大きいほど、その質量も大きくなります。星の絶対等級または光度は、その星までの距離と見かけの等級を知ることで求められます。星のボロメトリック等級は、太陽の質量を単位として、その質量に対してプロットされます。これは観測によって決定され、その後、プロットから星の質量が読み取られます。巨星と主系列星はこれに一致する傾向がありますが、超巨星と白色矮星は一致しません。質量-光度関係は非常に有用です。なぜなら、連星、特に視覚連星の観測により、多くの星の質量がこの方法で発見されているため、天文学者は星の進化、つまり星がどのように誕生するかについての洞察を得ることができたからです。^{[ 5 ]}^{[ 13 ]}^{[ 15 ]}

スペクトル分類

一般的に、二進法には3つの種類があります。これらは、2つの構成要素の色を考慮することで判別できます。

「1. 赤色または赤みがかった主星と、通常は1等級以上暗い青みがかった伴星からなる系… 2. 等級と色の差がどちらも小さい系… 3. 暗い方の星が2つの星のうちより赤い系…」

クラス1連星の光度はクラス3連星の光度よりも大きい。連星の色差とそれらの縮小固有運動の間には関係がある。1921年、リック天文台のフレデリック・C・レナードは次のように記している。「1. 矮星の伴星のスペクトルは一般的に主星のスペクトルよりも赤みが強いが、巨星の暗い方のスペクトルは通常明るい方のスペクトルよりも青みが強い。どちらの場合も、スペクトル型の絶対差は通常、構成要素間の差異と関連しているように思われる…2. いくつかの例外を除いて、連星の構成要素のスペクトルは互いに関連しており、星のヘルツシュプルング・ラッセル配置に適合する…」

視覚的に連星系を観測する上で興味深いケースは、一方または両方の構成要素が主系列星の上または下に位置する場合である。星が主系列星よりも明るい場合、それは非常に若いため重力によって収縮しているか、進化の主系列後段階にあるかのどちらかである。連星系の研究は、単独の星とは異なり、どちらの理由であるかを特定できるため、ここで有用である。主星が重力によって収縮している場合、質量が大きい星の方が質量が小さい星よりもはるかに速く主系列星になるため、伴星は主星よりも主系列星から遠ざかることになる。^{[ 16 ]}

参考文献

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