有向射影幾何学

有向射影幾何学は、実射影幾何学の有向バージョンです。

実射影平面はR ³の原点を通るすべての無向直線の集合を記述しますが、有向射影平面は指定された方向の直線を記述します。コンピュータグラフィックスやコンピュータビジョンでは、光線が点から放射されるか吸収されるかを区別する必要がある アプリケーションがあります。

有向射影空間の要素は、符号付き同次座標を使用して定義されます。を原点を除く の要素の集合とします。${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

1. 有向射影直線: 、すべての に対して同値関係が成り立ちます。${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$${\displaystyle (x,w)\in \mathbb {R} _{*}^{2}}$ ${\displaystyle (x,w)\sim (ax,aw)\,}$${\displaystyle a>0}$
2. 有向射影平面: 、すべての に対してとなります。${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle (x,y,w)\in \mathbb {R} _{*}^{3}}$${\displaystyle (x,y,w)\sim (ax,ay,aw)\,}$${\displaystyle a>0}$

これらの空間は、ユークリッド空間の拡張として見ることができます。は、の 2 つのコピー、集合 ( x ,1) と ( x ,-1) の和集合と、無限遠点 (1,0) と (-1,0) の 2 つの追加点の和集合として見ることができます。同様に、 は、 の 2 つのコピー ( x , y ,1) と ( x , y ,-1) と、 ( x , y ,0)の 1 つのコピーとして見ることができます。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

空間を円または球面上の点として見る別の方法は、点（x、y、w） で与えられる。

x ² + y ² + w ² =1 です。

nを非負の整数とする。 （の解析モデル、または正準^[1]）有向（実）射影空間、または（正準^[2]）両側射影^[3]空間は 次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\}.}$^[4]

ここでは、 を2 面として表します。 ${\displaystyle \mathbb {T} }$

2点間の距離は要素として定義できる ${\displaystyle p=(p_{x},p_{y},p_{w})}$${\displaystyle q=(q_{x},q_{y},q_{w})}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

${\displaystyle ((p_{x}q_{w}-q_{x}p_{w})^{2}+(p_{y}q_{w}-q_{y}p_{w})^{2},\mathrm {sign} (p_{w}q_{w})(p_{w}q_{w})^{2})}$

で[ ^5]${\displaystyle \mathbb {T} ^{1}}$

nを非負の整数とする。有向複素射影空間は 次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}}$

${\displaystyle {\mathbb {CP} }_{S^{1}}^{n}=\{\{\lambda Z:\lambda \in \mathbb {R} _{>0}\}:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}=\{\mathbb {R} _{>0}Z:Z\in \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\}}$^[6]ここで、 1次元球面を表すために と書きます。${\displaystyle S^{1}}$

• 変分解析

• ストルフィ、ホルヘ（1991）。指向射影幾何学。アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-672025-9。
  スタンフォード大学の博士論文「計算幾何学のためのプリミティブ」より引用。[1]として入手可能。
• ガリ、シェリフ (2008)。幾何学計算入門。シュプリンガー。ISBN 978-1-84800-114-5。
  第 14 章と第 15 章では、有向射影幾何学についてわかりやすく紹介されています。詳細は、著者の Web サイトをご覧ください。Sherif Ghali。
• 山口不二雄 (2002)。コンピュータ支援による幾何学設計：完全4次元アプローチ。Springer。ISBN 978-4-431-68007-9。
• 以下、アレクサンダー。クルメック、ヴァネッサ。リヒター・ゲベール、ユルゲン (2003)。 「複雑なマトロイド: ランク 2 のピロトープとその実現」。アロノフで、ボリス;バス、サガタ。Pach, ヤーノス;シャリール、ミシャ(編)。離散幾何学と計算幾何学: グッドマン・ポラック・フェストシュリフト。スプリンガー。 203–233ページ。土井：10.1007/978-3-642-55566-4。ISBN 978-3-642-62442-1。
• AG Oliveira、PJ de Rezende、FP SelmiDei 「CGALの有向射影平面 T2 への拡張とその動的可視化システム」 、第 21 回 ACM 計算幾何学シンポジウム、イタリア、ピサ、2005 年。
• Werner, Tomas (2003)。「セットポイントの複数の投影に対する組み合わせ制約」。第 9 回 IEEE 国際コンピュータビジョン会議の議事録。pp. 1011–1016。doi : 10.1109 / ICCV.2003.1238459。ISBN 0-7695-1950-4. S2CID  6816538 . 2022年11月26日閲覧。