輪郭セット

数学において、等高線集合は 日常的な概念を 一般化し、形式化する。

• 何かより優れているもの
• 何かより優れている、または同等であるもの
• 何かより劣るものすべて
• 何かより劣っている、または同等であるものすべて。

集合の要素のペアの関係が与えられた場合 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}}$

そして、${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle x\in X}$

の上部輪郭集合は、 に関連するすべての集合です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

の下等高線集合は、それらと関連する すべての の集合です。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

の厳密な上輪郭集合は、いずれの集合とも このように関連せずに、と関連しているすべての の集合です。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}}$

の厳密な下輪郭集合は、 が と関連しているが、いずれも とこのように関連していないすべての の集合です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}}$

最後の2つの形式表現は、次のように定義すれば簡略化できる。

${\displaystyle \succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~\backepsilon ~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}}$

はと関連しているが とは関連していないので、その場合 の厳密な上等高線集合は ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

そして、厳密な下等高線集合は ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

関係の観点から関数 を考察する場合、関数の輪郭集合への参照は暗黙的に暗黙の関係の輪郭集合への参照となる。 ${\displaystyle f()}$${\displaystyle \triangleright}$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]}$

実数 と関係式を考えてみましょう。すると ${\displaystyle x}$${\displaystyle \geq }$

• の上等高線集合は以上の数の集合となる。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• の厳密な上限の等高線集合は、より大きい数の集合となる。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• の下等高線集合はより小さいか等しい数の集合であり、${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• の厳密な下等高線集合は、未満の数値の集合になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

より一般的には、

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

それから

• の上等高線集合は、 となるすべての集合となる。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(y)\geq f(x)}$
• の厳密な上等高線集合は、 となるすべての集合となる。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(y)>f(x)}$
• の下等高線集合は、となるすべての集合であり、${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)\geq f(y)}$
• の厳密な下等高線集合は、 となるすべての の集合になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)>f(y)}$

等高線集合を次の関係で定義することは 技術的には可能である。

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]}$

ただし、そのような定義は、すぐに理解できないものになりがちです。

実数値関数（引数自体が実数である場合とそうでない場合がある）の場合、関数の等高線集合への参照は、暗黙的に関係の等高線集合への参照となる。 ${\displaystyle f()}$

${\displaystyle (a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]}$

の引数はベクトルである可能性があり、代わりに使用される表記法は次のようになること に注意する。${\displaystyle f()}$

${\displaystyle [(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]}$

経済学では、集合は商品やサービス、あるいは起こり得る結果の集合として解釈され、関係は厳密な選好、関係は弱い選好として解釈される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \succ}$${\displaystyle \succcurlyeq}$

• の上限集合、またはより良い集合^[1]は、少なくともと同じくらい望まれるすべての商品、サービス、または結果の集合である。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• の厳密な上限集合は、よりも望まれるすべての商品、サービス、または結果の集合となる。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• のより低い等高線集合、またはより悪い集合^[1]は、よりも望まれていないすべての商品、サービス、または結果の集合であり、${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• の厳密な下等高線集合は、よりも望ましくないすべての商品、サービス、または結果の集合になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

このような好みは効用関数によって捉えられる可能性があり、その場合 ${\displaystyle u()}$

• の上等高線集合は、 となるすべての集合となる。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u(y)\geq u(x)}$
• の厳密な上等高線集合は、 となるすべての集合となる。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u(y)>u(x)}$
• の下等高線集合は、となるすべての集合であり、${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$
• の厳密な下等高線集合は、 となるすべての の集合になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u(x)>u(y)}$

が の全順序付けであると仮定すると、上輪郭集合の 補集合は厳密な下輪郭集合になります。${\displaystyle \succcurlyeq}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succ y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succcurlyeq x\right\}}$

厳密な上位輪郭集合の補集合は下位輪郭集合です。

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}=\left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}}$

${\displaystyle X^{2}\backslash \left\{y~\backepsilon ~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~\backepsilon ~y\succ x\right\}}$

• 碑文
• ハイポグラフ

• Andreu Mas-Colell、Michael D. Whinston、Jerry R. Green、「ミクロ経済理論」（LCC  HB172.M6247 1995）、p43。ISBN 0-19-507340-1（ハードカバー）ISBN 0-19-510268-1（ペーパーバック）