ポアソン方程式の一意性定理

ポアソン方程式の一意性定理は、多くの境界条件において、方程式は多くの解を持つ可能性があるが、すべての解の勾配は同じであると述べている。静電気学の場合、これは、境界条件の下でポアソン方程式を満たすポテンシャル関数から導出される電場が一意に存在することを意味する。

静電気学におけるポアソン方程式の一般式は次のとおりである。

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},}$

どこ${\displaystyle \varphi }$電位と​$\displaystyle \rho _{f}}$ある領域における電荷分布とは${\displaystyle V}$ 境界面を持つ${\displaystyle S}$。

解の一意性は、以下のように、幅広い境界条件に対して証明できる。

ポアソン方程式には2つの解が存在すると仮定します。これらの2つの解をそれぞれと呼びましょう。$\displaystyle \varphi _{1}}$そして$\displaystyle \varphi _{2}}$。 それから

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{1}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}},}$そして

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\varphi _{2}=-{\frac {\rho _{f}}{\epsilon _{0}}}.}$

したがって、$\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$は、ラプラス方程式の解であり、ポアソン方程式の特殊な場合で、 に等しい。${\displaystyle 0}$上記の2つの解を引くと、

ベクトル微分恒等式を適用すると、次のことがわかります。

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}+\varphi \,\nabla ^{2}\varphi .}$

しかし、（１）から、地域全体で${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0.}$ その結果、第2項はゼロになり、次のことがわかります。

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \,\nabla \varphi )=\,(\nabla \varphi )^{2}.}$

領域全体にわたって体積積分をとることにより${\displaystyle V}$すると、

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \,\mathbf {\nabla } \varphi )\,\mathrm {d} V=\int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V.}$

発散定理を適用すると、上記の式は次のように書き換えられます。

ここでは、ディリクレ境界条件、ノイマン境界条件、混合境界条件という3つの異なる境界条件を順に検討します。

まず、ディリクレ境界条件が次のように指定されている場合を考えます。${\displaystyle \varphi =0}$領域の境界上でディリクレ境界条件が満たされる場合${\displaystyle S}$両方の解決策によって（つまり、もし${\displaystyle \varphi =0}$境界上）の場合、（ 2 ）の左辺はゼロになります。したがって、次のことがわかります。

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.}$

これは（二乗項のため）正の量である体積積分であるため、${\displaystyle \nabla \varphi =0}$すべての点で。さらに、勾配が${\displaystyle \varphi }$どこでもゼロで${\displaystyle \varphi }$境界上ではゼロであり、${\displaystyle \varphi }$領域全体でゼロでなければならない。最後に、 ${\displaystyle \varphi =0}$地域全体で、そして$\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$地域全体にわたって、したがって$\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$領域全体にわたって。これで、ディリクレ境界条件を持つポアソン方程式には唯一の解が存在するという証明が完了する。

第二に、ノイマン境界条件が次のように指定されている場合を考察する。${\displaystyle \nabla \varphi =0}$領域の境界上で。ノイマン境界条件が満たされる場合${\displaystyle S}$両方の解により、( 2 )の左辺は再びゼロになります。したがって、以前と同様に、次のことがわかります。

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,\mathrm {d} V=0.}$

これまでと同様に、これは正の量の体積積分であるため、${\displaystyle \nabla \varphi =0}$すべての点で。さらに、勾配が${\displaystyle \varphi }$体積内のあらゆる場所でゼロである${\displaystyle V}$勾配が${\displaystyle \varphi }$境界上のあらゆる場所でゼロ${\displaystyle S}$、 したがって${\displaystyle \varphi }$領域全体で一定でなければならないが、必ずしもゼロである必要はない。最後に、${\displaystyle \varphi =k}$地域全体で、そして$\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$地域全体にわたって、したがって${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}-k}$領域全体にわたって。これにより、ノイマン境界条件を持つポアソン方程式には、加法定数を除いて一意の解が存在するという証明が完了する。

境界の各点において勾配またはポテンシャルのいずれかが指定されていれば、混合境界条件を与えることができます。無限遠における境界条件も成り立ちます。これは、 ( 2 ) の面積分が、被積分関数が表面積の増加よりも速く減少するため、遠距離でもゼロになるという事実から生じます。

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• 球面調和関数

• L.D. ランダウ、E.M. リフシッツ (1975) 『古典的場理論』第 2巻（第4 版）。バターワース・ハイネマン。ISBN 978-0-7506-2768-9。
• JD ジャクソン (1998).古典電磁気学(第 3 版).ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-471-30932-1。