数学的宇宙仮説

物理学と宇宙論において、数学的宇宙仮説( MUH ) は究極集団理論としても知られ、宇宙学者マックス・テグマークによって提唱された推測的な「万物の理論」(TOE)である。^{[1] [2]}この仮説によれば、宇宙はそれ自体が数学的な対象である。テグマークはこの考えを拡張して、すべての数学的対象が存在するという仮説を立て、これをプラトン主義または様相実在論の一形態として説明している。

この仮説は議論を呼んでいる。ユルゲン・シュミットフーバーは、数学的対象は無限に存在するため、すべての数学的対象に等しく重みや確率を割り当てることは不可能であると主張している。物理学者のピエト・ハットとマーク・アルフォードは、この考え方はゲーデルの第一不完全性定理と矛盾すると示唆している。

テグマークは、宇宙は数学的であるだけでなく、計算可能でもあると答える。

テグマークの MUH は、私たちの外部の物理的現実は数学的構造であるという仮説です。^[3]つまり、物理的宇宙は単に数学によって記述されるのではなく、数学、具体的には数学的構造そのものです。数学的存在は物理的存在に等しく、数学的に存在するすべての構造は物理的にも存在します。人間を含む観察者は「自己認識サブ構造 (SAS)」です。そのようなサブ構造を含むほど複雑な数学的構造では、観察者は「物理的に「現実」の世界に存在していると主観的に認識します」。^[4]

この理論は、数学的実体の存在を提唱する点でピタゴラス主義やプラトン主義の一形態、数学的対象以外の存在を否定する点で数学主義の一形態、そして存在論的構造的実在論の形式的な表現であると考えることができる。

テグマークは、この仮説には自由パラメータがなく、観測的に否定されていないと主張している。そのため、彼は、この仮説がオッカムの剃刀によって他の万物の理論よりも好まれると論じている。テグマークはまた、MUHに2番目の仮定である計算可能宇宙仮説（CUH ）を追加することを検討している。これは、外部の物理的現実である数学的構造は、計算可能な関数によって定義されるというものである。^[5]

MUHは、テグマークによる多元宇宙の4つのレベルの分類に関連しています。^[6]この分類では、多様性が増す入れ子になった階層を仮定しており、世界は異なる初期条件（レベル1）、物理定数（レベル2）、量子分岐（レベル3）、およびまったく異なる方程式または数学的構造（レベル4）のセットに対応しています。

ロンドンのインペリアル・カレッジのアンドレアス・アルブレヒトは、これを物理学が直面している中心的な問題の一つに対する「挑発的な」解決策と呼んだ。彼はそれを信じているとまでは言わないが、「我々が目にするもの全てが存在するという理論を構築するのは実際にはかなり難しい」と指摘した。^[7]

ユルゲン・シュミットフーバー^[8]は、「テグマークは『...すべての数学的構造は、事前に等しい統計的重みが与えられている』と示唆しているが、すべての（無限の数の）数学的構造に等しい非ゼロ確率を割り当てる方法はない」と主張している。シュミットフーバーは、構成的数学、つまりコンピュータプログラムによって記述可能な宇宙表現のみを認める、より制限されたアンサンブルを提案している。たとえば、グローバルデジタル数学ライブラリや数学関数のデジタルライブラリは、追加の数学的結果の構成要素として機能することを意図した、形式化された基本定理のリンクされたオープンデータ表現である。彼は、出力ビットが有限時間後に収束する非停止プログラムによって記述可能な宇宙表現を明示的に含めているが、停止問題の決定不能性のため、収束時間自体は停止プログラムによって予測できない可能性がある。^{[8] [9]}

これに対して、テグマークは^{[3] : sec. VE}で、すべての宇宙にわたる物理的次元、定数、法則の自由なパラメータ変動の構成的数学的 形式化された尺度は、弦理論のランドスケープに対してもまだ構築されていないため、これを「ショーストッパー」と見なすべきではないと指摘しています。

MUH はゲーデルの不完全性定理と矛盾するとも言われている。テグマークと物理学者のピエト・ハット、マーク・アルフォードの三者討論において^[10] 、 「世俗主義者」(アルフォード) は「形式主義者が認める方法では、十分に強力なシステムにおけるすべての定理を証明することはできない...数学が「外部」にあるという考えは、数学が形式システムで構成されているという考えとは矛盾している」と述べている。

テグマークの応答^{[10] : sec VI.A.1 は}、「ゲーデル完全 (完全に決定可能) な数学的構造のみが物理的に存在する」という新しい仮説を提示することです。これにより、レベル IV の多元宇宙が大幅に縮小され、本質的に複雑さに上限が設けられ、私たちの宇宙の相対的な単純さを説明できるという魅力的な副作用が生じる可能性があります。」テグマークはさらに、物理学の従来の理論はゲーデル決定不可能であるものの、私たちの世界を記述する実際の数学的構造は依然としてゲーデル完全である可能性があり、「有限状態デジタルコンピュータがペアノ算術のようなゲーデル不完全な形式体系に関する特定の定理を証明できるのと同様に、原理的にはゲーデル不完全な数学について考えることができる観察者を含む可能性がある」と指摘しています。^{[3] : sec. VII では、}彼はより詳細な回答をし、MUH の代替として、ゲーデルの定理が決定不可能な定理や計算不可能な定理を含むことを要求しないほど単純な数学的構造のみを含む、より制限された「計算可能宇宙仮説」(CUH) を提案しています。テグマークは、このアプローチが「深刻な課題」に直面していることを認めており、これには (a) 数学的ランドスケープの多くを除外すること、(b) 許容される理論の空間上の測度自体が計算不可能である可能性があること、(c) 「歴史的に成功した物理学の理論のほとんどすべてが CUH に違反している」ことが含まれます。

ストーガー、エリス、キルヒャー^{[11] : sec. 7 は}、真の多元宇宙理論では「宇宙は完全に分離しており、宇宙の 1 つで起こることは、他の宇宙で起こることと因果関係がありません。このような多元宇宙では因果関係がまったくないため、科学的裏付けはまったくありません」と指摘しています。エリス^{[12] : 29 は}特に MUH を批判し、完全に分離した宇宙の無限の集合は「時折期待を込めて言われるにもかかわらず、完全に検証不可能です。たとえば、Tegmark (1998) を参照してください」と述べています。Tegmark は、MUH は検証可能であり、(a)「物理学の研究によって自然界の数学的規則性が明らかになる」と予測し、(b) 我々が数学的構造の多元宇宙の典型的なメンバーを占めていると仮定することで、「我々の宇宙がどの程度典型的であるかを評価することで、多元宇宙の予測を検証し始めることができる」と述べています。^{[3] : sec. VIII.C}

MUH は、数学は外部現実であるという急進的なプラトン主義の見解に基づいています。^{[3] : sec VC}しかし、Jannes ^{[13]は、数学が外部現実であるならば、他の}動物にも見られるはずだという根拠から、「数学は少なくとも部分的には人間の構築物である」と主張しています。「Tegmark は、現実を完全に記述したいのであれば、人間とは独立した、エイリアンや将来のスーパーコンピューターなどの人間以外の知覚力のある存在が理解できる言語が必要になると主張しています。」Brian Greene も同様の主張をしています。^{[14] : 299}「宇宙の最も深い記述には、意味が人間の経験や解釈に依存する概念は必要ありません。現実は私たちの存在を超えているため、根本的に、私たちが作り上げたアイデアに依存すべきではありません。」

しかし、人間以外の存在は数多く存在し、その多くは知性があり、その多くは数値を理解し、記憶し、比較し、さらには近似的に加算することができます。いくつかの動物も、自己意識の鏡テストに合格しています。しかし、数学的抽象化のいくつかの驚くべき例（たとえば、チンパンジーは数字の記号加算を実行するように訓練できる、またはオウムが「ゼロのような概念」を理解しているという報告）にもかかわらず、数学に関する動物の知性の例はすべて、基本的な計数能力に限定されています。彼は、「高度な数学の言語を理解する人間以外の知的存在が存在するはずです。しかし、私たちが知っている人間以外の知的存在のどれも、客観的な言語としての（高度な）数学の地位を裏付けていません」と付け加えています。論文「数学、物質、精神について」では、検討された世俗主義の視点が次のように主張しています^{[10] : sec. VI.A}では、数学は時間とともに進化しており、「決まった疑問とそれに対処する確立された方法を伴う、明確な構造に収束していると考える理由はない」と述べており、「急進的プラトン主義者の立場は、独我論のような単なるもう一つの形而上学的理論である... 結局、形而上学は、我々がすでに知っていることを述べるために別の言語を使用することを要求しているだけである」とも述べている。テグマークは^{[10] : VI.A.1 で、}「数学的構造の概念は、モデル理論に関するどの本でも厳密に定義されている」と述べており、非人間の数学が我々の数学と異なるのは、「実際には首尾一貫した統一された図の別の部分を発見しているためであり、したがって数学はこの意味で収束している」と述べている。2014 年に出版された MUH に関する著書で、テグマークは、解決策は数​​学の言語を発明することではなく、数学の構造を発見することであると主張している。

ドン・ペイジは^{[15] : sec 4}で「究極レベルでは、世界は 1 つしか存在できず、数学的構造がすべての可能な世界、または少なくとも我々の世界を含むほど広範であれば、究極的な現実を記述する唯一の数学的構造が 1 つ存在する必要がある。したがって、すべての数学的構造が共存するという意味においてレベル 4 について語るのは論理的に無意味であると思う」と主張している。これは、数学的コーパスは 1 つしか存在できないことを意味する。テグマークは^{[3] : sec. VE}で「これはレベル IV とそれほど矛盾していない。なぜなら、多くの数学的構造は関連のないサブ構造に分解され、別々の構造は統合される可能性があるからである」と応答している。

Alexander Vilenkinは^{[16] : Ch. 19, p. 203}で「数学的構造の数は複雑さが増すにつれて増え、それは「典型的な」構造が恐ろしく大きく扱いにくいことを示唆している。これは、私たちの世界を記述する理論の美しさと単純さと矛盾しているように思われる」とコメントしている。彼はさらに^{[16] : footnote 8, p. 222}で、この問題に対する Tegmark の解決策、つまりより複雑な構造に低い「重み」を割り当てるという解決策^{[6] : sec. VB は}恣意的であるように思われ (「重みは誰が決めるのか?」)、論理的に一貫していない可能性がある (「追加の数学的構造を導入しているように見えるが、それらはすべて既に集合に含まれているはずである」) と指摘している。

テグマークはオッカムの剃刀の性質と適用を誤解していると批判されている。マッシモ・ピグリッチは「オッカムの剃刀は単なる便利なヒューリスティックであり、どの理論が好まれるかを決定する最終的な裁定者として使用するべきではない」と指摘している。^[17]

• 私たちの数学的宇宙:マックス・テグマークによって書かれ、2014 年 1 月 7 日に出版されたこの本では、テグマークの理論が説明されています。

• Schmidhuber, J. (1997)「コンピュータ科学者の生命、宇宙、そして万物に対する見方」、C. Freksa 編、『コンピュータサイエンスの基礎: 潜在的 - 理論 - 認知』、コンピュータサイエンス講義ノート、Springer: p. 201-08。
• テグマーク、マックス( 1998)。 「『万物の理論』は、究極の集合理論にすぎないのか?」。Annals of Physics。270 ( 1 ) : 1–51。arXiv : gr-qc/9704009。Bibcode : 1998AnPhy.270....1T。doi :10.1006/aphy.1998.5855。S2CID  41548734。
• テグマーク、マックス( 2008)。「数学的宇宙」。物理学の基礎。38 (2): 101–50。arXiv : 0704.0646。Bibcode : 2008FoPh ...38..101T。doi : 10.1007/s10701-007-9186-9。S2CID 9890455  。
• テグマーク、マックス（2014）、私たちの数学的宇宙：現実の究極の性質への私の探求、ISBN 978-0-307-59980-3 
• Woit, P. (2014 年 1 月 17 日)、「書評: Max Tegmark 著『Our Mathematical Universe』」、The Wall Street Journal。
• ハムリン、コリン (2017)。「宇宙の理論に向けて: 構造理論と数学的宇宙仮説」。Synthese 194 (581–591)。https://link.springer.com/article/10.1007/s11229-015-0959-y

• ユルゲン・シュミットフーバー「構成的数学によって記述可能な宇宙の集合」
• Max Tegmark が管理するページ。彼の技術記事や一般向け記事へのリンクがあります。
• 「『Everything』メーリング リスト」(およびアーカイブ)。あらゆる宇宙が存在するという考えについて議論します。
• リチャード・キャリアーのブログ: 私たちの数学的宇宙
• サム・ハリスとのインタビュー 2017-08-25にWayback Machineにアーカイブテグマークとハリスが数学、多元宇宙、人工知能の有効性について議論します。
• 「真実に近づく」におけるマックス・テグマークのインタビュー集
• 「宇宙は数学でできているか？」サイエンティフィック・アメリカン誌からの抜粋